图形启智 减负增效

图形启智 减负增效

浦洲

江苏省无锡市雪浪中心小学 214133

在小学数学教学中，形形色色的线条，棱角分明的平面，错落有致地构成了赏心悦目的图形。图形美包罗万象，又与生活休戚相关，数学教材也抵不住它的诱惑，数形结合的编排与设计，吸引了儿童眼球，成人阅之也是心旷神怡。它的价值远不止这些，在教学过程中，教师运用深入浅出的教学方法，使学生很快地掌握了知识，启迪了他们的智慧。

一、数形结合，助推思维

“ 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”这是《孙王算经》中记载的古代数学名题之一，主要运用假设法来解决。一般小学五六年级的孩子才有能力运用这一方法准确解决，有些孩子甚至要进入中学用二元一次方程才能迅速而准确地解答。特级教师徐斌独辟蹊径，用 代表鸡，用 代表兔，带领学生探索鸡兔同笼问题，降低了思维难度，二年级的孩子也能轻松

作答。

图形化作一种特殊的数学语言，直观、形象、简洁，能够化繁为简，化难为易，促进学生思维发展。倍数关系包括一个数是另一个数的几倍和一个数的几倍是多少，是认知过程的一次重要飞跃，是整数、小数、分数乘除法计算的重要基础，与因数倍数、图形的放大缩小这类知识密不可分，购物、繁殖、裂变等生活现象无不蕴含“倍”，机械灌输势必导致学生一系列认知障碍，引导他们主动建构“倍”的含义才能为后续学习奠定扎实基础。黄花有3个2朵就是说“黄花的朵数是蓝花的3倍”，学生模仿着说可以对答如流，得心应手，当我们为之欣喜时，学生一而再，再而三地出错，问题接踵而至，给我们当头一棒。倍的含义借助图形来理解才是尽善尽美。通过图形画一画、圈一圈、比一比、说一说的方式来研究，可以加深印象，促进内化，深刻理解，提高思维，呈现一番新气象。

蓝 花 蓝花

黄 花 黄花

同 样是2朵蓝花，左图黄花有3个圈，说明黄花朵数是蓝花的3倍。右图黄花有4个圈，说明黄花朵数是蓝花的4倍。

蓝 花 蓝花

红 花 红花

同样是8朵红花，左图红花是蓝花的4倍，右图红花是蓝花的2倍。

比较过程直视一倍数与几倍数的关系，借助直观图，提炼数量之间的关系，倍的微妙变化尽显其中，再来解释“黄花的朵数÷蓝花朵数=几倍”就根深蒂固了，形成知其然并知其所以然的良性循环。这样分析来龙去脉，知晓前因后果的学习过程，即使暂时遗忘，也能通过画图唤醒记忆，随机应变处理各种问题。

二、形散神聚，构建框架

有时一节概念课林林总总要教学，一堂练习课题广量大很琐碎，一次复习课包罗万象难顾全……教师呕心沥血，学生浮光掠影。如果提纲挈领地举一反三，能聚沙成塔，可高瞻远瞩，游刃有余地解决一些实际问题。

“射线、直线和角”一看课题就非常琐碎，这么多概念，亟需确定一个核心，毋庸置疑它就是——射线。顺着“过点画线”的思路展开教学，简单明了，变化多端，与众不同。

“ 经过两点只能确定一条直线；经过一点可以画无数条直线；经过一点可以画无数条射线”这些常识不言而喻。

“ 把线段的一端无限延长可以得到一条射线 ；把射线的一端无限延长可以得到一条直线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段是直线的一部分。”这些结论显而易见。

过一点引两条射线也能丰富多彩，形态各异，尽如人意。“周角就是一条射线，平角就是一条直线”的谬论毋庸置疑，角的分类昭然可见，后面内容，提前预知。

这些对比图引人注目，不但把知识点一一罗列，还有助于他们用自己的语言描述特点。教学过程从一般到特殊，根据内在联系，对教学内容有效地沟通整合，拓展了教学宽度，剖析了教学深度。经常将知识融会贯通，学生耳闻目染，主动地顺藤摸瓜，自觉地触类旁通，想得多，理得顺，记得牢，学得活。这种能力应用于学习与生活，将是一笔巨大的财富，一生受用。

三、图形变换，深化知识

画图既是一种重要的解题策略，也是一种重要的思想方法。它能够实现一定程度的抽象和概括，使知识得到完善和提升。

苏 教版四年级下册76页主要是认识三角形的高，虽然直角三角形和钝角三角形只要求画最长边上的高，但另外两条高切切实实地存在，教学动态演示三幅图，利大于弊。

学生有目共睹，更容易达成共识“一个顶点只能作一条高”，因为三角形有三个顶点，所以每个三角形都有三条不同的高。只不过直角三角形的一条直角边是底，另一条直角边是高，不需另画，钝角三角形另外两条高需要延长底边，只能作在三角形外面。这样全面展示各种情况，深化难点，启迪智慧，提高效率。随着年级升高，优势越明显，特别是到总复习阶段，自觉地画出框架图还可以把书本知识由厚变薄，浓缩在大脑中，贮存精华，学得轻松。

由内向外，单位从小到大，向外扩散时单位转换乘进率

由外到内，单位从大到小，向内浓缩时单位转换除以进率

数学教学主要围绕“数与几何”展开，画图既能化数为形，又是几何思维的重要支柱，是两者之间的重要纽带。“画中学，图中思”成了研究方向，教师乐此不疲，2020年第5期《小学数学教师》发表专题研讨，多角度阐述图形教学的优势。面对乐观的现状，我们不得不忧虑：学生能看懂图，独立思考时却想不到画图，看似会画图，却不知从何下手，错误层出不穷。教师可以从以下几方面努力尝试。

(一)增强画图意识

几何图形需要很强的空间想像力，能力不是与生俱来，需要从小培养。教学不能一步登天，要分阶段实施。低年级学会看图说图，简单涂鸦，中年级渗透技巧，规范作图，高年级大胆尝试，自主建构框架图。画图的范围很广，有示意图、框架图、线段图……几何中有平面图、立体图。行程不会，试试画图，几何不通，试试辅助线，剪拼困难，图形帮忙，关系不明，线段帮忙。视野要开阔，代数几何都可画图示意，总之思维遇到障碍，首先想到画图。

(二)学会分析图意

只有在看得懂、理得清的情况下，画图才能添砖加瓦。要培养学生敏锐的观察力，深刻的洞察力，正确的表达力。观察要全面，思维要缜密，隐含条件充分挖掘，相同部分紧密联系，不同之处仔细琢磨。领会图意后逐步分析条件，能根据两个条件推导一个问题，必要时作为新条件继续使用，逐个击破问题。有些静止的图蕴藏着动态过程，要能够适时剪辑，点断式思考。乍看不明，反复比照，纵横交错地思考。

(三)指导作图方法

有些问题学生望洋兴叹，教师一画完图，学生轻而易举地解决，此情此景是不会画图导致的，说明画图需要指导，要创造机会让学生乐画能画。

1、学会画示意图

例 :一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米，它的底是多少厘米？（先画示意图再解答）初次画图，学生凭自己的直觉自由散漫地画。

这样画图只是初步表达了某个条件，不能完整体现数量间的关系，不著见效。虽然只要求画示意图，但是也要能够一目了然，标注名称，体现同样多，有效数据必不可少。一般情况下先画出标准量，再表示部分量，最后明确所求问题。

遵守“逐步”制图的规则，井然有序地画，做到准确而清晰。画图要规范，为了便于观察和比较，用好手中的尺，画得方方正正，就好比一个堂堂正正的人。同时，教学时也要防止过度精致，浪费时间。

2、关注比例关系

站在不同的角度看同一个问题，得到的结果就不同。目不斜视可能会误入陷阱，几何知识用图形能帮助我们眼观六路，特别是按正常比例作图，各种状态尽收眼底，一览无余，始料不及的时候也能断事如神，从而有条理的思考。

例 ：在一个长10厘米、宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，求剩下图形的周长。如果学生画的比例不当（图1），可能会造成错觉，甚至怀疑自己的正确想法。如果能按比例缩小成长10毫米宽8毫米（图2）， 剩下图形的周长=长×2就能洞若观火。若出现无法预料大小关系的图形另当别论，就不要勉强为之。

图1 图2 图3

3、标出重要信息

苏教版四年级下册“解决问题的策略”明确指出：“要根据题目的条件和问题逐步画出示意图，要把条件和问题都在图中表示清楚。”这给我们指明了作图标准和方向。假如题目中有许多数据，只要标出与解决问题有关的重要信息即可，如果眉毛胡子一把抓，图形画得乱七八糟，就会雾里看花，百思难解。

比如：把一张边长20厘米的正方形纸剪成4个同样大小的正方形，直接思考会出现：一个大正方形的周长÷4=每个正方形的周长。如果画图（图3），把问题中的周长描下来，从标出的数据中根据中点的含义用20÷2算出小正方形的边长再计算，正确率明显提升。

数学家华罗庚曾感叹：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。无图不成巧，无图难成思，图形利用转化的思想方法，发挥解决问题的优势。画图教学难以量化考核，它作为一种重要的思想方法，贯通各门学科，对数学学习尤为重要。教师要本着“长期育人”的理念，凝心聚力，扎扎实实地教给学生作图方法，提高作图能力，发挥作图效应，让学生终身受益。

参考资料：

1.《小学数学教与学》2020年5月.中国人民大学书报资料中心

2.《小学数学教师》2020年5月.上海教育出版社

3.《美学与小学数学教学》主编：邱念慈 吉荣峰.河海大学出版社

4.《全国著名小学数学特级教师课堂教学艺术》小学教师继续教育丛书编委会.河海大学出版社

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