二次曲线的切线方程及应用

二次曲线的切线方程及应用

黄丹妮

广东省中山市实验中学 广东 中山 528400

[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。

[关键词] 二次曲线 切线方程 切点弦方程

有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．

1 几个常见结论及推导

1．在圆上一点处的切线方程为：．

（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）

将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是 ，内函数为 ，故 ．于是有：

在 两边分别对x求导，得 ，若 ，则有 ．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点 ，若 ，则有 ，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为 ．又 ， ① 为所求．

若 ，由图象可知，此时所求切线方程为： 或 ．又 ，故所求切线方程为： 或 ．也满足①式．

故在圆 上一点 处的切线方程可统一写为： ．

2．在椭圆上一点处的切线方程为：．

推导过程如下：

在两边分别对x求导得： ，对于点 ，若 ，则有 ，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为 ，又 ，故②为所求．

若 ，此时所求切线方程为： 或 ，也满足②式．

故在椭圆 上一点 处的切线方程为： ．

3．在双曲线上一点处的切线方程为： ③．

注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．

4．在抛物线上一点处的切线方程为：．

在 两边对x求导，得 ．对于点 ，若 ，则有 ，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为 ，即 ，又在抛物线上，故 ，因此所求切线方程为：④．

若 ，此时所求切线方程为： 也满足④式．故在抛物线 上一点 处的切线方程为： ．

结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为 ，进而得到一般性的结论5．

将以上四个结论推广，可得到以下结论：

5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为： ⑤．

注：二次曲线的方程中不含 项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．

从结论5出发，进一步思考，若点 在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点 在曲线上及结论5可知，

曲线在点A处的切线方程为 ，

曲线在点B处的切线方程为 ，

因点 在切线 上，故 ⑥，同理， ⑦，综合⑥⑦得，点 ，的坐标都满足方程 ．

因为经过点 的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为： ．

由此，我们可以得到另一个结论：

6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．

由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．

2 应用

有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．

2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．

现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：

已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.

(Ⅰ) 求抛物线 的方程；

(Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程；

(Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.

略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是： ．

(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线 的方程（即切点弦方程）为： ，即 ．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）

从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：

过椭圆 上一点 作圆 的两条切线，切点为 ，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ，求 的面积的最小值．

解析：法一：设 ，由结论6知，直线 的方程为： ， ， ，故 的面积 ．又点 在椭圆 上，故 ．由基本不等式得： ，即 （当且仅当 时，等号成立）， ． ，即 的面积的最小值为 ．

法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点 在椭圆上，故可设 ，由结论6知，直线 的方程为： ，故 ， 的面积 （当且仅当 ，即 或 时，等号成立），故 的面积最小值为 ．

解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．

3 小结

由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如 的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．

而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．

参考文献

[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．