数形结合思想在高中数学解题中的有效渗透

数形结合思想在高中数学解题中的有效渗透

李莹 李玉玲

巴中第四中学 四川巴中 636000

摘要：现阶段，培养高中生数学思维仍然非常重要。数学思想是富有奠基性和总结性的思维成果，若能将其落实到学生的数学思维活动中去，则可以发挥出一种方法论的功能。而数形结合是众多思想方法中最为独特的一种，它为几何学的探究注入了新能源，为微积分理论的发展奠定了良好的基础，使人们对“形”的认识由静态过渡到动态，从而更为清晰地看清了现实生活中的一切事物。

关键词：数形结合思想；高中数学；数学解题

引言

纵观历年高考试题，每年都有相当数量的试题凸显了对数形结合的考查，这就充分体现了数形结合在高考命题中的重要地位。因此，在解题中应更多地关注数形结合思想的运用，用“形”的直观来寻求解题思路，以“数”的抽象进行严格论证。本文通过追溯典型例题中所蕴含的数学思想，来谈“以形助数，化难为易”的方法渗透，与同仁分享。

1数形结合思想在高中数学解题中渗透的重要性

1.1让数形结合更细致

教师要重视学生亲身实践、亲身体验的活动设计，使学生积极主动地投入探究学习之中，获得更多的感悟，促进学生内化所学的数学知识。首先，设计创造分数的活动，让学生主动地去实践，使他们在真切的活动中体会平均分的方法，感悟知识点的本质属性^[1]。其次，组织学生交流汇报，实现学习成果分享。教师适时渗透数形结合这一思想方法，不仅帮助学生积累了更加丰富的学习感知，而且引导学生沟通了数与形之间的联系，使学生的数学学习更有智慧，充满灵性。

1.2让数形结合更务实

任何一种知识都是在不断训练中建构的，也正因为学习训练的支持，学生学习的技能才会得到发展，学习活动经验才会不断得到积累。因此，数学教学中，教师应基于数形结合这一思想方法精心设计练习，使学生通过练习真正内化所学知识，提升数学核心素养^[2]。首先，设计基础训练题。其次，设计综合性习题。设计这样的习题，旨在通过渗透数形结合这一思想方法，帮助学生进一步理解分数的意义。教师精心设计练习，不仅可以引导学生巩固所学的分数知识，而且能调动学生积极思考的热情，让他们在练习中学会比较、学会分析、学会思考，使他们的数学思考更缜密、更严谨、更敏捷，最终加速知识建构的进程。

1.3让数形结合更紧密

数学教学中，教师的任务不只是简单地传授知识，还要引导学生把自己的所见所闻、所思所感较为完整地表述出来，使学生的数学学习更加生动，思考更加有根有据。其中，渗透数学结合这一思想方法，就是达成这一教学愿景的有力拐杖。教师在教学中有意识地指导学生把自己的操作体验、观察结果、思考过程完整地表达出来，使学生想与说的能力得到协同训练，促进学生的思考不断深入^[3]。首教师利用教材中的主题图创设情境，引导学生进行操作实践活动。教师让学生说出自己的操作过程，并说清楚知识点的由来，有效渗透了数形结合这一思想方法。这样不仅激活了学生的思维，使学生学会分析与有序思考，培养学生的语言表达能力，而且深化了学生的学习感悟，增强学生的自主学习意识，提升学生的数学核心素养。

2数形结合思想在高中数学解题中的有效渗透

2.1三角问题上的应用

数形结合的本质内涵在于将数据与图形紧密结合，从而得出较为直观的解题思路。在解决三角领域的一些问题时，对比僵化的代数分析法，数形结合更易深入挖掘其几何背景，迅速深入问题的根本，通过单位圆的直观性，大大缩短了解题所耗时间。由此可见，三角问题与数形结合合理融合，可以达到活化解题思路的目标。例３求证：Sin20°＜7/20分析：本题若以三角方法进行证明，难度较大，若引入“单位圆”，并借助面积计算公式则可以快速有效地求解．具体证明过程如下：证明：如图1，在单位圆中，有

Ｓ_△ＡＯＢ＝１/２×１×１×sin20°＝１/２sin20°，

Ｓ_{扇形ＡＯＢ}＝１/２×２０π/１８０×１/２＝１/２×π/９．

因为Ｓ_△ＡＯＢ＜Ｓ_{扇形ＡＯＢ}，所以１/２sin20°°＜１/２×π/９＜１/２×７/２０，所以sin20°＜７/２０.

图1

2.2函数问题中的应用

通过图像去研究函数的各种性质是一种常用的方法．在解决方程和不等式问题时，通过“数”上构“形”，有助于理解题意和探究解题思路，体验解题结果，从而完美解决函数的抽象性问题，并强化对函数的概念和性质的认识能力，挖掘出函数未知性质，以实现活化解题思路的目的．例６　已知ｌｏｇ_２（－ｘ）＜ｘ＋１，试求ｘ的取值范围．分析：本题为超越不等式，虽看似一目了然，但从代数方向着手则容易思维卡壳，这时我们可以介入熟悉的数形结合，深入瓦解问题难度，简化解题思路．如图2，我们作出函数ｙ＝ｌｏｇ２（－ｘ）与ｙ＝ｘ＋１的图像，根据条件ｌｏｇ_２（－ｘ）＜ｘ＋１，则函数ｙ＝ｌｏｇ_２（－ｘ）的图像位于函数ｙ＝ｘ＋１的图像下方，结合图形很直观地可以得出ｘ的取值范围为（－１，０），既直观又简洁。

图2

图3

例７：方程ｘ＝ｃｏｓｘ在（－∞，＋∞）上（　　）．

Ａ．有无数个根　　　　Ｂ．有且仅有２个根

Ｃ．有且仅有１个根　　Ｄ．无根

分析：本题较为复杂，而高中生思维能力有限，若直接求解，那么过程的繁难可想而知。因此，我们想到利用数形结合思想，建立直角坐标系从几何意义着手，透彻明晰题目的隐含条件，从而使问题的解决更轻松^[4]。在坐标系内画出函数ｙ＝ｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ的图像，从图像上我们很直观地得出函数的交点情况，换言之就是方程ｘ＝ｃｏｓｘ在（－∞，＋∞）上有且仅有２个根，故本题选Ｂ．

2.3数轴上的应用

数轴是展现数形结合思想的一个重要方法，借助数轴可以建立实数与数轴上点的一一对应关系，以数轴的“形”来融合“数”，有效拓宽解题思路，从而快速顺利地解决问题，让数学知识更富有生命力，开拓学生的思维视野．

例１设集合Ａ＝｛ｘ　ｘ∈Ｚ，且－１０≤ｘ≤－１｝，Ｂ＝｛ｘ　ｘ∈Ｚ，且ｘ≤５｝，则Ａ∪Ｂ中元素的个数为（　　）．

Ａ．１１　　　Ｂ．１０　　　Ｃ．１６　　　Ｄ．15

分析：图示法是集合的一种重要的表示方法，在解决一些抽象问题时，往往可以达到直观和形象的目的。本题求解的是集合中的元素个数，通过数轴很好地诠释了集合Ａ和Ｂ中的元素，从而将代数问题转化为几何问题进行解决。如图１，Ａ∪Ｂ包含１６个整数点，故本题选Ｃ．例２若关于ｘ的不等式ａ≥ｘ＋１＋ｘ－２存在实数解，试求出实数ａ的取值范围。

分析：从绝对值的几何意义出发，ｘ＋１＋ｘ－２所代表的是数轴上点ｘ到－１、２的距离之和，从数轴上可以看出（ｘ＋１＋ｘ－２）ｍｉｎ＝３，则有ａ≥３，可得ａ∈（－∞，－３］∪［３，＋∞）．

2.4方程问题中的应用

学生在对方程式以及代数式进行解答的过程中，往往习惯于从代数的方向进行解答，这样一来就会被“数”牢牢束缚，无法完成问题的有效解决^[5]。而应用数形结合将方程与代数问题转化为几何问题，有助于发展学生的几何直观．例４已知集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ，ｙ为实数，且ｘ^２＋ｙ^２＝１｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝ｘ｝，则Ａ∩Ｂ的元素个数为（　　）．

Ａ．３　　　 　Ｂ．２ Ｃ．１　　　　　　　　Ｄ．０

分析：深入思考本题集合Ａ中方程ｘ２＋ｙ２＝１的几何意义，不难得出结论是一个圆心为（０，０），半径为ｒ＝１的圆；再思考集合Ｂ中方程ｙ＝ｘ，极易得出结论其几何意义为一条直线．由此可得出图４．

图4

图5

故本题正确选项为Ｂ．

例５　已知实数ｘ，ｙ满足ｘ^２＋ｙ^２≤１，试求出（ｙ－１）/（ｘ＋２）的取值范围．分析：据（ｙ－１）/（ｘ＋２）不难想到两点连线的斜率．设（ｙ－１）/（ｘ＋２）＝ｋ，则ｋ为点Ａ（－２，１）、Ｐ（ｘ，ｙ）连线的斜率．如图５所示，动点Ｐ（ｘ，ｙ）在圆ｘ^２＋ｙ^２＝１的边缘及内部移动，设过点Ａ的直线方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋２），可得原点Ｏ到直线的距离ｄ＝ ≤１，可得－４/３≤ｋ≤０，由此可得（ｙ－１）/（ｘ＋２）的取值范围为［－４/３，０］

结束语：

数形结合是高中生学习数学的重要手段之一，在教学中教师要调动学生多种感官参与学习，培养学生用数形结合思想思考和解决问题的意识，激发学生的创新思维，落实学生几何直观、推理能力等数学核心素养的培养，为学生的终身发展奠基。

参考文献：

[1]杨德源.高中数学教学中数形结合思想的应用现状及策略研究[J].中国农村教育,2019(33):107-108.

[2]李洋洋,刘君.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究,2019(22):22.

[3]马正勋.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].学周刊,2019(31):87.

[4]杨克利.探析高中数学解题中数形结合思想的应用[J].中国校外教育,2019(27):118.

[5]朱琳.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用研究[J].中国校外教育,2019(26):48-49.