向量法在立体几何中的应用

向量法在立体几何中的应用

张学

贵州省 印江中学 555200

摘要：向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法,给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和”平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。

关键词：立体几何；中学数学；向量法

例题 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=6，AA₁=4，M是 A₁C₁的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD₁的中点。

z B₁ C₁

M

A₁

Q

C y

A D

x

一 求点线距离

问题1：求点M到直线PQ 的距离。

分析：本题属于立体几何中求点与线距离类型，若用传统几何法需过点M引直线PQ的垂线，在图中寻找垂线不是件容易事情，而用向量法就可使问题得以解决。

解：如图，以点B为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。得

P（0，4，0），Q（4，6，2），M（2，3，4）

∴ =（-2，-3，2） =（-4，-2，-2）

又点M到直线PQ的距离d=| |sin< , >

而cos< , >= = =

∴sin< , >= ,

∴d= =

小结：本例充分体现了利用直线QP的一个方向向量 、M到直线QP的距离及斜线段QM所构成的直角三角形，借助于向量 与 的夹角公式使问题得以解决，而不必将点线之间的距离作出,请读者加以体会。

二 求点面距离

问题2 ：求点M到平面AB₁P的距离。

分析：采用几何法做出点面距，然后来求距离的传统法，很难求解，但若借助于平面的法向量即易解决。

解：建系同上。A(4,0,0) =(-2,3,4) =(-4,4,0) =(-4,0,4)

设 =(x,y,z)是平面AB₁P的一个法向量,则 ⊥ , ⊥

∴ , ∴可取 =(1,1,1)

∴点M到平面AB₁P的距离d=| |= = .

小结:点面距离的向量求法为:设 是平面的一个法向量,AB是平面的一条斜线, 则点B到平面的距离为d=| |.

三 求线面夹角

问题3:求直线AM与平面AB₁P所成的角.

解: 建系同上。由问题2可知 =(-2,3,4),

平面AB₁P的一个法向量 =(1,1,1)

∴|cos< , >|=| |= ,

又直线AM与平面AB₁P所成的角为线AM与平面AB₁P的法向量 夹角的余角,

故直线AM与平面AB₁P所成的角为arcsin .

小结:本例属于线面成角问题,向量法求解的方法是:设 为平面α的一个法向量, 是直线L的方向向量,则直线L与平面α所成的角为arcsin| |.

四 求面面所成的角(二面角)

问题4:求平面B₁PQ与平面D₁DCC₁所成的锐二面角的大小.

解:∵面D₁DCC₁垂直与坐标平面yoz,故设面D₁DCC₁的一个法向量为 =(0,1,0),又设面B₁PQ的一个法向量为 =(x,y,z)

∵ =(0,4,-4), =(4,2,2)

又 ⊥ , ⊥

∴ 即

∴ 可取(-1,1,1)

∴|cos< , >|=| |= = .

故平面B₁PQ与平面D₁DCC₁所成的锐二面角的大小为arccos .

小结:用向量法求二面角的具体方法是:设 , 是二面角α-L-β的两个半平面α, β的法向量,则< , >=arccos| |就是所求二面角的平面角或其补角.

五 求两异面直线间的距离

问题5:求两异面直线AB₁与PQ 间的距离.

解:设两异面直线AB₁与PQ的公垂线的一个方向向量为 =(x,y,z)又 =(-4,0,4), =(4,2,2).而 ⊥ , ⊥

∴ 即

∴ =(1,-3,1),又 =(0,4,-4)

故两异面直线AB₁与PQ 间的距离d=| |cos< , >=| |= .

小结:向量法解决两异面直线间的距离的作法是:L₁,L₂是两条异面直线, 是L₁,L₂的公垂线AB的一个方向向量,又C,D分别是L₁,L₂上任两点,则|AB|=| |.

以上介绍了直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”,“点面距离”,“线面夹角”,“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用, 涉及的题目用传统立体几何法求解有一定的难度, 而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力.在近几年的高考中利用向量的模和夹角公式求立体几何中的线段长和两直线的夹角已多次出现,随着新一轮课改的推进, 直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何问题中的应用必将成为高考命题的一个新的热点.

参考文献：

1. 基向量法在立体几何中的应用[J]. 刘瑞美. 中学数学教学. 2009(05)

2. 中学向量课程与教学的研究[D]. 陈雪梅.华东师范大学 2007

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