浅谈函数图像题的解题方法与技巧

浅谈函数图像题的解题方法与技巧

左学文

江西省吉安市永新县城南中学 江西 吉安 343400

摘要：《一次函数的图像及性质》是北师大版数学八年级上册中的重要知识点内容。本文希望结合这一知识点简单探讨初中函数图像综合题的解题方法与技巧，阐述明确该类题型中的三要素，并建立三要素之间的相互关联。

关键词：一次函数图像综合题；三要素；关联关系；解题方法技巧

一次函数是初中阶段学生所接触到的最基本的函数知识之一，纵观整个知识点它还是相对简单初级的，它也是中考数学中的必考点，通常以综合题形式出现，与几何图像共同形成一次函数图像综合题目。这说明函数知识能够建立初中代数与几何之间的联系，利用具象的几何图形来关联优化抽象的函数内容，实现函数与图像的完美结合，即中小学数学中所经常提到的“数形结合”。

一次函数图像综合题中的“三要素”及其关联

一次函数图像综合题中的“三要素”

一次函数图像综合题中是包含了3种基本要素的，这3种要素与其它平面几何图形结合就形成了中考中的必考点——一次函数图像综合题。具体来讲，题型中的三要素分别包括了点坐标、线段长度以及点在一次函数图像上的相互联系。在这3种要素之间也是存在密切的关联关系的。

一次函数图像综合题中“三要素”的关联关系

在一次函数图像综合题中，“三要素”的关联关系体现在方方面面。例如点坐标与线段长度之间就存在关联关系，如图1。

图1

如图1中点P坐标为 时，可了解到点 到 轴的距离应该为： ，而到 轴的距离为 。再看图1，当点P处于第一象限时，有 、 ，点的横纵坐标可转化为线段长度。反观如果分别求解 线段长度，也能相对清晰求得点 坐标。

图2

如图2，如果两个点在同一竖直方向上，两点横坐标相同，亦或是在同一水平方向上，两点纵坐标相同，那么已知点的坐标就能求解得出连接两点线段的长度。例如求解M、N点并同时求解MN线段长度。而如果已知点A坐标与线段AB的长度，则可求解点B坐标，此时就获得了点A、B坐标以及线段AB长度3个已知条件。此时可以进一步求解点C、D坐标，包括求解线段CD的长度，并了解它们彼此之间关系。

点在一次函数图像与点坐标之间的关联关系

如果将指定点的横、纵坐标分别代入到一次函数解析式中，求解它的自变量与变量可获得一个等式。具体来讲，如果点P(m,n)在一次函数y=kx+b图像上，则可获得等式如下：

km+b=n

此时可以知晓除y以外的其它3个变量。如果k、b变量已知，则通过点P的横坐标与纵坐标就能求解得出点P坐标。就这一点来讲，最为常用的是函数图像与x轴之间的交点坐标，交点坐标如下：

该交点坐标与 轴交点坐标为（0，b）。

如果根据一次函数的解析式设图像上的任意一点坐标，如点P是一次函数y=kx+b图像上的任意一个点，可继续设置点P坐标为（a,ak+b）。结合上述结论可以相对容易的了解并掌握一次函数图像综合题知识内容，并作出正确判断，找到解决问题的方法。而通过上述解题过程，教师也教会学生分析、把握思维导向、最终积累丰富解题经验^[1]。

一次函数图像综合题中利用“三要素”解题的基本思路

在一次函数图像综合题中要灵活利用“三要素”带领学生深入思考、探究解题过程。

例题提出

有点A1、A2、A3……、An是一次函数 在第一象限图像上的点，而B1、B2、B3……、Bn则是在x轴正半轴上的点，且有△OA1B1、△B1A1B2以及△B2A3B3，如此从左至右排列都为等边三角形，那么点B3的坐标是什么？

图3例题图

例题解题分析

在该题目中有一次函数与等边三角形结合，所以它是一道规律题，最终要求接的是一个点的坐标。不过仔细审题会发现，原题目中没有告知除原点以外任意点的坐标以及线段长度，所以此时学生的解题思维容易就此陷入困境，上下为难，教师就要教会学生如何打破这一困境僵局。以下给出一点具体解题方案：

首先由一点A1纵观整个一次函数 的第一象限图像，根据点坐标与点在一次函数图像上两大关联点设置点A1坐标为 ，再根据点坐标与线段长度之间的关系求解点A1到两点之间坐标轴的距离，则得到： ，结合△OA1B得出结论其为等边三角形。最后分别求得点B1坐标应该为（3,0）。同理求得点B2坐标为（9,0），最后求解得出点B3坐标为（21,0）。

结合上述方案就可充分证明在一次函数图像综合题目中“三要素”之间的关联，再结合等边三角形的基本性质，重新将三要素在一次函数图像上完美融为一体。在该过程中要渗透一次函数图像方程思想内容，该类问题就可最终被顺利解决^[2]。

一次函数图像综合题解题的几点建议

在求解一次函数图像综合题过程中，必须明确几点解题建议，例如本文中所多次强调的“三要素”一定要关联起来并融入到解题过程中，即将点坐标、线段长度与点在一次函数图像上的三大要素联系起来，首先明确基本的解题思维模式，然后再关注以下3点：

第一，要充分理解“三要素”中所涉及到的所有概念点与知识点，要教会学生，并掌握扎实的基础知识内容。

第二，要在解题过程中坚持以“点坐标”作为中心，同时培养学生的4种意识：首先，教会学生时刻拥有将点坐标转化为线段长度的意识；其次，教会学生拥有将线段长度转化点坐标的意识；再次，有将点坐标代入到一次函数解析式中求值或建立等式的意识；最后，有利用一次函数解析式设点坐标的意识。结合这4点，教师要在一次函数图像综合题解题过程中灵活运用，让学生理解并掌握这一基本技能。

第三，要鼓励学生敢于尝试，一旦学生思维遇到瓶颈，需要引导学生尝试从各个角度突破问题，例如要引入模型思想（例如辅助线）、转化思想（例如一次函数图像等量技巧）、数形结合思想（利用代数与图形问题综合解题技巧）等等。要尝试多角度、多层次思考问题，掌握解决一次函数图像综合题的方法技巧^[3]。

总结：

综上所述，“三要素”思维模式在初中函数教学应用中非常常见，本文中简单解读了“三要素”之间关联，并将它们全部应用于解题之中，让学生体会函数与图像的基本性质，加深它们对于这一数学思想的理解，为他们随后更高难度的函数学习奠定良好基础。

参考文献：

[1]王健.对一次函数综合题的探究分析与思考 ——以"一次函数的图像平移题"为例[J].数学教学通讯,2019(2):86-88.

[2]吴先名.把握问题本质 数形结合化解——以解一次函数与反比例函数综合题为例[J].中学教学参考,2018(8):32-33.

[3]宋长山.如何解决一次函数『图像应用题』[J].初中生学习（高）,2016(7):9-11.