复数教学难点突破的探究

复数教学难点突破的探究

杜雪梅

无锡市山明中学杜雪梅

在复数这一章的教学中，会碰到一些问题，使教师和学生都感到为难。这些问题，笔者作了一点探索。主要是将近世代数中域的概念引入到复数教学中，从而使复数的概念更易为学生掌握和理解。

一、怎样理解引入虚数的必要性和学习复数的实际意义？

每一次的扩展，都给数学解决实际问题提供了新的工具。反映数学里，就解决了在原有的数的范围内某些运算不是永远可以进行的矛盾。例如，在整数范围内除法并不总是可以进行的，引入了有理数后解决了这一问题。又如，有理数范围内，开方运算并不都是可能的，而引入了无理数，也就是把有理数扩展到实数以后，一个正数的开方问题就得到了解决。

我们知道，在实数范围内负数不能开平方，因此方程x2=-1在实数范围内无解。那么，它究竟在什么范围内有解呢？因此，我们引进一个新的数i，叫做虚数单位，满足i2=-1，这就解决了负数开平方的问题。

复数并不是什么神秘的东西，它是由一对实数表示出来的。有许多几何与物理量，也可用一对实数来表示。如平面直角坐标系上点的坐标、平面向量、平面上的速度与力等等。而复数恰好可以表示这些量。在很多情况下，应用复数表示这些量计算起来比较方便。例如，平面上速度或力的合成，用复数来计算就很容易。

二、如何引入复数概念

我们知道数的概念的每一次扩充，都必须保持原有的运算，并使原有的运算范围有所扩大。如整数扩充到有理数，不仅保持了原有的加，减，乘等运算，而且还扩大了除法的运算范围。又如，有理数扩充到实数后，保持了四则运算及乘方运算，并扩大了开方的运算范围。同样，实数扩充到复数后，也应保持原有的运算（四则运算，乘方，开方等），且使可开方的数的范围进一步扩大。

如果我们设全体实数所组成的集合为R，全体复数所组成的集合为C，当然应满足R?奂C，i∈C且i?埸R。那么，我们还须进一步弄清复数集C中的数是些什么样的数。

由于在复数集内可进行四则运算，因而

（1）a+i（2）bi

（3）1/i=-i（4）a+bi

等都属于复数集C，这里a、b都是实数，并且可以看出前三个数都可以用a+bi的形式来表示。

在（1）中b=1

在（2）中a=0

在（3）中a=0b=-1

现在任取两个复数a+bi，c+di（c，d不同时为零）来进行四则运算。

（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

（a+bi）×（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i

（a+bi）&pide;（c+di）=(ac+bd)/c²+a²)+(bc-ad)/(c²+d²)i

由此可看出由形如a+bi（a，b是实数）的数所组成的集合使四则运算封闭。即两个形如a+bi的数经过加、减、乘、除等运算后，其结果仍形如a+bi，这个集合就是我们所讲的复数集，也就是说复数集中的数都可以用a+bi的形式表示出来。这里a、b是实数，i是虚数的单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。

三、需注意的问题

实数扩充到复数以后，需注意下面的问题。

1.复数的相等。

若a+bi与c+di相等

即a+bi=c+di

则a-c=（d-b）i

两边平方得（a-c）2=-（d-b）2

由于两边都是实数，因此，当且仅当a-c=0且d-b=0时，等式才成立。

也就是说，只有当两个复数的实部与虚部都分别相等时，这两个复数才相等。

2.复数不能比大小。

若两个复数不全是实数，就不能比较大小。

如：0与i这两个数

假如0与i之间有大小关系，则有0<i或i<0

若0<i，那么0×i<i×i，即0<-1

若i<0，那么i×i＞0×i，即-1＞0

总之，0与i之间不能比较大小。

3.复数的n次方根有n个根

复数r（cosθ+isinθ）的n次方根是

（cos+isin）

k=0，1，2……N-1，r≥0

例如：-8的三次方根在实数范围内只有-2一个值，而在复数范围内为

2（cos+isin）

k=0，1，2

即分别为-2，1+i，1-i

我们已经建立了复数集上的加、减、乘、除、乘方与开方六种代数运算，并且这些运算在复数域上毫无限制地得到实施，在高等代数里已经证明了，任意系数方程在复数域里总是有解（即代数基本定理）。这就是说，为了使代数方程有解而扩展数的概念的目的，在把实数域再扩展到复数域就可以达到了。因此，在使代数方程有解这一意义来说，从实数扩展到复数的概念是最后的扩展了。

但是，社会实际的需要是产生数的根本动力。随着人们对客观世界的认识逐渐深化，数的概念仍不断发展。所以人们对于数的概念的认识是没有完结的。