导数与函数的单调性

导数与函数的单调性

焦成刚

山东省滨州市滨城区第二中学256600

考点一：求函数的单调区间

例1：求函数f(x)=xlnx的单调区间。

解：∵f(x)=xlnx，∴f(x)的定义域为（0，+∞），∴f`(x)=lnx+1。

令f`(x)＞0，则x＞；令f`(x)＜0，则0＜x＜。

所以，函数f(x)=xlnx的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）。

【规律总结】

求函数单调区间的步骤：

1.确定函数的定义域。

2.求导函数f`(x)。

3.解不等式f`(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。

4.解不等式f`(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。

考点二：含参数的函数的单调性

例2：已知函数f(x)=ln（ex+1)-ax(a＞0)，讨论y=f(x)的单调区间。

解：f`(x)＝-a=1--a。

（1）当a≥1时，f`(x)＜0恒成立，所以y=f(x)在R上单调递减。

（2）当0＜a＜1时，由f`(x)＞0，得(1-a)(ex+1)＞1，解得x＞ln。

由f`(x)＜0，得(1-a)(ex+1)＜1，解得x＜ln。

所以，当0＜a＜1时，y=f(x)在（ln,+∞）上单调递增，在(-∞，ln）上单调递减。

综上所述，当a≥1时，y=f(x)在R上单调递减；当0＜a＜1时，y=f(x)在（ln,+∞）上单调递增；在（-∞，ln）上单调递减。

【规律总结】

1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。

2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点。

3.个别导数为零的点不影响所在区间的单调性。

考点三：已知函数的单调性，求参数的取值范围

例3：已知函数f(x)=x2+4x+alnx，若函数f(x)在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围。

解：f（x）的定义域为（0，+∞），f`（x）=2x+4+=。

因为函数f(x)在[1,2]单调递增，所以f`(x)≥0在[1，2]恒成立。

即2x2+4x+a≥0在[1，2]恒成立，

即a≥-(2x2+4x）在[1，2]恒成立。

令g（x）=-（2x2+4x），只需a≥g（x）max即可。

∵1≤x≤2，∴-16≤g(x)≤-6，∴a≥-6。

变式一：

若函数f(x)在[1，2]单调递减，求实数a的取值范围。

答案：a≤-16。

变式二：

若函数f(x)在[1，2]上存在递增区间，求实数a的取值范围。

解：f（x）的定义域为（0，+∞），f`（x）=2x+4+=。

因为函数f(x)在[1，2]上存在递增区间，所以f`(x)≥0在[1，2]有解。

即2x2+4x+a≥0在[1，2]有解。

即a≥-(2x2+4x）在[1，2]有解。

令g(x)=-(2x2+4x），只需a≥g(x)min即可。

∵1≤x≤2，∴-16≤g(x)≤-6，∴a≥-16。

【规律总结】

根据函数单调性求参数的取值范围一般思路：

1.若y=f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集。

2.y=f(x)为增函数（或减函数）的充要条件是对任意的x∈（a，b)都有f`(x)≥0（或f`(x)≤0）且在(a，b)内的任一非空子区间上f`(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解。

3.函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题。