数学教育改革热点——开放题

数学教育改革热点——开放题

薛玉清

山西离石一中薛玉清

一、数学开放题

开放题是相对封闭题而言的，传统的数学题条件完备，结论确定，这类题称之为封闭题．解封闭题一般是为了找出确定的答案．条件不完备、结论不在确定的习题称之为开放题．开放题有时只有给出一种情境，题目的条件和结论，都要求主体在情境中自行寻找和设定．解开放题常常没有现成的可以遵循的模式，得出的答案也有多种多样．

一个典型的封闭题与开放题如下：

封闭题：试求下列两个整式的最大公因式：

显然，对其共同点，学生可以从不同的角度来进行考察，所以结论也是多种多样的，这就是一个典型的开放题．

二、数学开放题的产生

数学开放题在数学教学中的重要地位的确立，及其对数学开放题比较深入系统的研究，始于二十世纪八十年代．

数学教学最早被理解为传授知识，在这种理解下，过去偏重演绎论证的训练，注重灌输现成的知识，教师布置的问题，都是封闭型的，学习的主要方法是模仿，解题实质上就是“对号入座”，这种教育培养的是知识型的人才．

20世纪60年代，数学教育界通过对新数学运动的反思，提出了“回到基础”的口号，我国数学教育也在重视基础的前提下，提出了培养三大能力．数学教育观念完成了从传授知识到传授知识培养能力的转变．

在对数学教育的深层结构的反思过程中，“问题解决”理论尤为突出，它成为“衡量出个人和民族具有数学能力的效果”的标准，而在问题解决中，开放题就是一种极富教育价值问题类型．

此时，我国的数学教育为了适应社会主义经济建设的飞速发展，更加注重了在教学中渗透数学思想方法，培养数学观念和良好的个性品质，正在由“应试教育”向“素质教育”的转化，培养全面发展的开拓性人才．在这种要求下，传统的封闭型数学问题不能完全满足对学生思维能力的训练，更不能完全满足培养学生良好思维品质的需要，开放型问题随之产生，进入了中考、高考试卷和课堂教学．

数学开放题在日、美等国得到比较深入的研究．日本数学教育家开发了一种称之为“开放式结尾”(open-end)的题目，从1971年开始，以岛田茂为首的一个日本数学教育学者小组，进行了颇有特色的研究，1977年他们发表了名为《算术、数学课的开放式结尾的问题--改善教学的新方案》的报告文集，该小组的成员之一筑波大学教授能田伸彦认为：开放题“能够让学生了解问题的主题材料，而问题并没有唯一正确的解答，因此就向学生提供了用他们所最喜欢的解决问题的方法的机会．”国际数学教育委员会(ICMI)的一个文件指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段．然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的．也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感．”

三、数学开放题的基本类型

是相对于传统的“条件完备，结论明确”的封闭性问题而言的，开放题中可能是所提供的条件不完备，需要在求解过程中不断充实和增添假设，它的结论或结果一般因人而异、丰富多彩．数学开放题有以下几种类型．

1．给出条件，没有给出明确结论，或者结论不确定，需要解题者探索出结论，并加以证明．

例如要把一张面值1元的人民币换成零钱，现有足够多的面值5角、2角、1角的人民币，请设计兑换方法．

2．给出了结论，没有给出条件或条件不完备，需要解题者分析出应具备的条件，并加以计算或证明．

例如有一块长方形的空地，长50米、宽30米，现在要在这块空地上建造一个花园，使种花草部分的面积占这块空地面积的三分之二，问该怎样设计花园建造方案?

3．改变已知问题的条件，探讨结论相应地会发生什么变化，或者改变已知问题的结论，探讨条件相应地会发生什么变化．

例如在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于F点，求AF与FC的关系(如图1)．

引申1在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD上的点，延长BE交AC于F点，若AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值．

引申2在△ABC中，D为BC上的点，E为AD上的点，延长BE交AC于F点，且BD∶CD=a∶b,AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值．

4．从实际问题出发，给出一些数据，经过对数据的分析，建立数学模型，从而解决问题．

例比较下面两列算式的结果的大小：(在横线上选填"＞"、"＜""＝")

通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明．

四、数学开放题的特征

1．问题本身常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须搜集其他必要的信息，才能着手解题；

2．没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索；

3．有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而于寻求解答的过程中主体的认知结构和重建；

4．常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型；

5．在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括的结论；

6．能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平；

7．教师难以用注入式进行教学，学生能自然地处于一和主动参与的位置，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、咨询者和指导者．