浅谈函数的图象和面积问题

浅谈函数的图象和面积问题

赵加强

赵加强湖北省仙桃市第十中学433000

中图分类号：G648.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）05-017-02

在初中教学课本里，函数及其图象这一章是重点内容，函数图象和直角坐标围成的面积问题，在习题中常常见到，也是学生难以掌握的一个难点，在这里，我谈谈函数图象与直角坐标轴围成的有关问题。

一、一次函数的面积问题

一次函数的图象是一条直线，过一定点的直线与直角坐标围成的三角形面积为一定值，这样的直线有几条呢？就要看此定点的位置，显然此点不能在原点，如果此点是在坐标轴上，那么这样的直线就有两条，如果此点不在坐标轴上，这个问题就比较复杂了，要根据具体的愿意去解，这样的直线可能是两条，也可能是三条，还可能是四条。

例1：如图1已知点P（2，2）若过P点的直线与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线L的解析式

因为直线在第二四象限围成的三角形面积，可以是大于0的任何数，直线所以在二、四象限中围成的面积为4的三角形是各一条，在第一象限是否能围成面积为4的三角形呢？这就要看具体解的情况了。

图1

解：设方程为y=kx+b

∵过P（2，2）∴y=kх－2k+2

当x=0时，y=2－2k

当y=0时，x=2－2/k

若2－k－=－2时

k2－4k+1=0

k=2±

若2－k－=2时

k2+1=0

k无解

L的解析式为：y=(2±)x－2(2±)+2

即为:(1)y=(2+)x－2(2+)+2

y=(2－)x－2(2－)+2

至此，答案就明确了，满足条件的直线有两条，直线在第一象限不能围成面积为4的三角形。

这是什么原因呢？下面我们来研究这个何题，设直线在第一象限围成的三角形面积为S1，则S1=（2－2k）（2－）（k<0）。

S1=2（1－k）（1－）

我们知道，若a>0，b>0,就有()2=0

a+b≥2

上面S1=

∵k＜0∴－k＞0

S1有最小值。其最小值是

S1min=2(2+2)=8

至此,我们对L在第一象限能否围成面积一定的三角形，就有所了解了，结论是过P(2，2）点的直线在L在第一象限困成的面积为8，满足条件的L就有一条，若L在第一象限围成的面积大于8，满足条件的就有两条。

回顾整个题目，就很清楚，若过P(2,2)点的直线与坐标轴图成的三角形由积是S，当0<S<8时，则L是两条直线，当S=8时，则L是条直线，若S>8时,则L是四条直线。

二、反比例函数和面积问题

图2图3

如图2是反比例函数y=k/x(k>0)的大致图象，M是图象上的一点，过M作X轴Y轴的垂线，可求得S矩形AOBM=,S△AOM=。

根据这一原理，可解决许多的题的实际问题。

例2：如图3，函数y=kx（x<0）与y=－的图象交于A、B两点,过A作AC垂直于Y的轴，垂足为点C，求△BOC的面积。

解析：∵反比一例函数图象是中心对称图形

∴AO=BO

S△BOC=S△AOC

∵S△AOC==2

∴S△BOC=2

例3：如图4所示，已知AB是函数y=的图象上关于原点O的任意对对称点，AC平行于Y轴，BC平行于X轴，求△ABC的面积。

解析：S△AOD=

又∵BC∥X轴

∴△AOD∽△ABC

∴S△AOD:S△ABC=AB2:AO2

而AO=BO

∴AB=2AO

∴S△ABC=()2×S△AOD

∴S△ABC=4×=2