浅析一致连续函数

浅析一致连续函数

袭杨于辉

摘要：对函数的一致连续性的定义、定理加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。

关键词：一致连续；区间；收敛；导数；有界函数

Abstract:Thedefinitionsandtheoremsofuniformlycontinuousfunctionaremadeasummary，andtheclosertiesbetweentheboundnessanduniformcontinuityoffunctionarestatedhere.

Keywords:uniformlycontinuous；interval；convergence；derivative；boundedfunction

前言

一致连续是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，现就此问题加以总结分析。

1一致连续定义

2一致连续判定方法

2.2.1若f是X上的一致连续函数，则f也是Y上的一致连续函数。

2.2.2若f，g都是X上的一致连续函数，则f±g也是X上的一致连续函数。

2.2.3若f，g都是一致连续函数，g。f有意义，则g。f也是一致连续函数。

2.3区间上的一致连续性判定

2.3.1闭区间

（Cantor定理）[a，b]：函数f（x）在[a，b]上一致连续的充分必要条件是f（x）在[a，b]上连续。

证法Ⅰ：用Weirerstrass定理反证。

证法Ⅱ：用有限覆盖定理。

2.3.2有限非闭区间

（1）（a，b）：函数f（x）在（a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且f（a+）与f（b-）都存在。

证法：构造辅助函数、Contor定理。

推论[a，b）：函数f（x）在[a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在[a，b）上连续且f（b-）存在。

推论（a，b]：函数f（x）在（a，b]上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b]上连续且f（a+）存在。

（2）无穷区间

a.[a，+∞）：函数f（x）在[a，+∞）上一致连续的充分条件是f（x）在[a，+∞）上连续且f（+∞）存在。

证法：极限定义、一致连续定义。

推论（a，+∞）：函数f（x）在（a，+∞）上一致连续的充分条件是f（x）在（a，+∞）上连续且f（a+）和f（+∞）都存在。

b.（-∞，b]：函数f（x）在（-∞，b]上一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b]上连续且f（-∞）存在。

推论（-∞，b）：函数f（x）在（-∞，b）上一致连续的充分条件是f（x）在f（-∞，b）上连续且f（b-）和f（-∞）都存在。

c.（-∞，+∞）：函数f（x）在（-∞，+∞）上一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，+∞）上连续且f（-∞）和f（+∞）都存在。

注1：在（2）中的a、b、c，f（-∞）和f（+∞）的存在性都是非必要的。

如：sinx在（-∞，+∞）上一致连续，但sin（+∞）和sin（-∞）都不存在。

3一般任意区间

根据以上几个特定区间上的判别法，完全可以得出一致连续函数在一般任意区间上的判别法。但是，我们注意到，上述判别法在某一特定区间上的要求往往是较为苛刻的，使用起来也不甚方便，甚至还可能会全部失效。可以解决这一问题的就是在一般任意区间上的特殊判别法。

（1）一致连续函数的区间可加性I1∪I2：

函数f（x）区间在I1和I2上一致连续，若I1∩I2≠?覫，则f（x）在I1∪I2上一致连续。

证法：一致连续定义。

（2）不等式比较法：

若对于定义在区间X上的函数f（x）和g（x），?埚L＞0，?坌x'，x"∈X，有|f（x'）-f（x"）|≤L|g（x'）-g（x"）|成立，而g（x）在X上一致连续，则f（x）在X上也一致连续。

证法：一致连续定义。

推论（Lipschitz定理）：若函数f（x）在区间X上满足下述Lipschitz条件，即?埚L＞0，?坌x'，x"∈X，有|f（x'）-f（x"）|≤L|x'-x"|成立，则f（x）在上一致连续。

证法：取g（x）=x即可。

（3）导数法：

设函数f（x）在区间X上连续，且满足f'（x）在X上有界，则f（x）在X上一致连续。

证法：Lagrange中值定理、Lipschitz条件。

注2：导数法中f'（x）的有界性要求是非必要的。

所谓一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大，当然只要有界即可（我们可以根据其上界M取适当大小的?着'=?着/M），求导判断其是否有界相比严格证明或求复杂极限要简单的多。正因为如此，该判别法往往是易行而颇具效用的。

参考文献

[1]陈纪修等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[3]江泽坚，孙善利.泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1994.

作者简介：袭杨（1981~），女，黑龙江八一农垦大学文理学院数学系，助教，吉林大学数学研究所在读研究生。于辉（1979~），女，哈尔滨工业大学理学院数学系在读研究生，黑龙江八一农垦大学，讲师。