如何用发散思维来解策略开放性问题

如何用发散思维来解策略开放性问题

施玲玲

施玲玲（福建省南安市第四中学福建南安362300）

摘要：开放性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型，既是中考的热点题型，也是中考命题中具有挑战性试题。它有条件开放的、有结论开放的、有条件与结论同时开放的、也有策略开放的。策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

关键词：策略开放标新立异发散思维

中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2019）02-0176-02

开放性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型，既是中考的热点题型，也是中考命题中具有挑战性试题。它有条件开放的、有结论开放的、有条件与结论同时开放的、也有策略开放的。策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。以下是以一例题来说说如何解策略开放性问题的。

例：小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA＝OB＝2（如图1），求a的值；

图1

（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

图2

（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

分析：（1）直接由抛物线的对称性，结合等腰直角三角形即可求得点B的坐标，进而求解。（2）可过点A作AE⊥x轴于点E，利用相似三角形，或锐角三角函数，或勾股定理求解。（3）设出直线的解析式，并和二次函数联立方程，利用相似三角形求得.或利用面积求解。

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，

因为OA＝OB＝2，所以∠AOB＝90°，所以AC＝OC＝BC＝2，所以B(2，－2)。

将B(2，－2)代入抛物线y＝ax2(a＜0)，解得a＝－。

（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－)，所以BF＝。

又因为∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，而∠AEO＝∠OFB＝90°，

所以△AEO∽△OFB，所以＝＝＝2，所以AE＝2OE，

设点A(－m，－m2)（m＞0），则OE＝m，AE＝m2，所以m2＝2m，因为m≠0，所以m＝4，即点A的横坐标为－4。

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－)，

所以tan∠OBF＝＝＝2，

因为∠AOB＝90°，易知∠AOE＝∠OBF，所以＝tan∠AOE＝tan∠OBF＝2，所以AE＝2OE，

设点A(－m，－m2)（m＞0），则OE＝m，AE＝m2，所以m2＝2m，因为m≠0，

所以m＝4，即点A的横坐标为－4。

解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，因为点B的横坐标为1，所以B(1，－)，

设点A(－m，－m2)（m＞0），则OB2＝12+＝，OA2＝m2+m4，AB2＝(1+m)2+(－+m2)2，

因为∠AOB＝90°，所以AB2＝OA2+OB2，所以(1+m)2+(－+m2)2＝m2+m4+，因为m≠0，

解得m＝4，即点A的横坐标为－4。

（3）解法一：设点A(－m，－m2)（m＞0），B(n，－n2)（n＞0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，则第1个方程×n+第2个方程×m，得(m+n)b＝－(m2n+mn2)＝－mn(m+n)，所以b＝－mn，

又易知△AEO∽△OFB，所以＝，所以＝，所以mn＝4，

所以b＝－×4＝－2，由此可知不论k为何值，直线AB恒过点B(0，－2)。

解法二：设点A(－m，－m2)（m＞0），B(n，－n2)（n＞0），

直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S梯形ABFE－S△AOE－S△BOF＝S△AOC+S△BOC，得×(n2+m2)(m+n)－m×m2－n×n2＝OC×m+OC×n，化简，得OC＝mn，又易知△AEO∽△OFB，所以＝，所以＝，所以mn＝4，所以OC＝2为固定值。故直线AB恒过其与y轴的交点C(0，－2)。

解法三：设点A(－m，－m2)（m＞0），B(n，－n2)（n＞0），

则有OA2＝m2+m4，OB2＝n2+n4，AB2＝(m+n)2+(－m2+n2)2，

因为∠AOB＝90°，所以OA2+OB2＝AB2，所以(m2+m4)+(n2+n4)＝(m+n)2+(－m2+n2)2，化简得mn＝4，所以OC＝2为固定值。故直线AB恒过其与y轴的交点C(0，－2)。

点评：本题将一只三角板有机地放入平面直角坐标系中，并与抛物线结合，同时构建动态问题，应该说是一道十分不错的好题，求解时除了要能灵活运用所学知识外，还必须充分运用数学思想方法。此题难度较大。

总之，开放探索性问题，特别是策略开放性的探索问题，这种题型可以激发学生的学习兴趣，培养他们的想象能力、思维发散能力、综合分析概括能力等水平思维能力，以及探索创新能力都十分有利。