五法求解变力做功问题

五法求解变力做功问题

栾峰

关键词：变力做功；物理；方法

作者简介：栾峰，任教于湖北省孝感市云梦县梦泽高级中学。

功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计算公式W=Fscosa只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用W=Fscosa来计算功的大小。常见的方法有以下几种：微元法、平均力法、图像法、等值法和能量转化的办法。

一、微元法

“微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根椐来求变力的功。此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。

例1：如图1所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

解析：将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图2所示，元功，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即

例2：如图3，某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。

解析：在转动的过程中，力F的方向上课变化，但每一瞬时力F总是与该时刻的速度同向，那么F在每一瞬时就与转盘转过的极小位移同向，因此无数的瞬时的极小位移，都与F同向。在转动的过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：

二、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

例3：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s2）

分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。

解析：由题意可知：

开始时的牵引力：F1=f0＝0.05×（800×10）＝400(N)

20米时的牵引力:F2=100×20+400=2400(N)

前进20米过程中的平均牵引力：F平=1400(N)?????????

所以车的牵引力做功：W＝F平S＝1400×20＝28000(J)

三、图像法

如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，就可以在平面直角坐标系内画出F—S图像，而图线与坐标轴所围的“面积”就代表力F所做的功。

例4：用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2Cm。求第二次打击后可再进入几厘米？

解析：由于锤子对钉子每一次做的功均相同，而锤子对钉子做的功又可以用阻力做的功来代替，已知钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比,设钉入进入的深度为x,那么阻力：,F—S图像如图4所示。

四、研究对象转换法

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。

例5：如图5，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

解析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。

由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别

五、能量转化法

功是能量转化的量度，已知外力做功情况就可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系可从能量改变的角度来求功。

例6：如图6所示，在水平放置的光滑板中心开一个小孔O，穿过一细绳，绳的一端系住一个小球，另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r的匀速圆周运动，在运动过程，逐渐增大拉力，当拉力增大为8F时，球的运动半径减为，求在此过程中拉力所做的功。

解析：由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大，所以是一个变力做功问题，故只能利用动能定理求解。

根据动能定理，拉力所做的功

例7：如图7所示，置于水平面的平行金属导轨不光滑，导轨一端连接电阻R，其他电阻不计，垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B，当一质量为m的金属棒ab在水平恒力F作用下由静止向右滑动时（）。

A.外力F对ab棒做的功等于电路中产生的电能；

B.只有在棒ab做匀速运动时，外力F做的功才等于电路中产生的电能；

C.无论棒ab做何运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能；D.棒ab匀速运动的速度越大，机械能转化为电能的效率越高。

解析：在导体棒的运动过程中外力做的功，用来克服由于发生电磁感应而产生的感应电流的安培力的那一部分转化为电能，又因为有摩擦，还需克服摩擦力做功，转化成内能.所以A、B错，C对；又当匀速运动时，由能量转化的观点，可知：

正确。

作者单位：湖北省孝感市云梦县梦泽高级中学

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