浅析高中数学中的化归与转化思想刘羽

浅析高中数学中的化归与转化思想刘羽

刘羽

刘羽

〔摘要〕在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之———化归和转化的思想方法。

〔关键词〕高中数学思想方法化归和转化

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。著名的数学家，莫斯科大学教授C•A•雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题。”数学教育家波利亚在其著作《怎样解题》中给出了“怎样解题表”，在解题“拟定计划”中指出：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？”

转化与化归思想的实质是通过事物内部的联系将待处理问题规范化、模式化，从而得到解决。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。

1正与反的相互转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。

点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到f（0）=1＞0）有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。

2常量与变量的转化

在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例2、已知曲线系Ck的方程为x29-k+y24-k=1，试证明：坐标平面内任一点（a，b）（a，b≠0），在Ck中总存在一椭圆和一双曲线过该点。

可知f（k）=0，根据函数图象开口向上，可知方程①在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根，即对平面内任一点（a，b），在曲线系Ck中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题，降低了难度，这种方法在解析几何中用的较普通。

3特殊与一般的转化

一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。

点评：一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。

4等与不等的转化

相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。

例5、已知a、b都是实数，且a1-b2姨+b1-a2姨=1求证：a2+b2=1。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求a与b之间的关系。解：∵a1-b2姨≤a2+（1-b2）2，b1-a2姨≤b2+（1-a2）2，∴a1-b2姨+b1-a2姨≤1，又a1-b2姨+b1-a2姨=1，a=1-b2姨且b=1-a2姨即a2+b2=1。

点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决。

5数与形的转化

许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。

例6：设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=lg（3a-ax-x2）总有意义，求实数a的取值范围。

点评：通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数a的不等式组，从而求出a的范围。解法二是通过分离参数的方法，再通过换元，利用函数u+1u的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。

作者单位：四川省达县第三中学