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首页 > 《魅力中国》 > 2010年8期 > 构造法求数列的通项公式

（整期优先）网络出版时间：2010-08-18

作者: 高松茂

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构造法求数列的通项公式

高松茂

高松茂（河北省河间市第一中学河北沧州062450）中图分类号：G633.6文献标识码：A

数列问题中的构造新数列是近几年高考题的热点，根据数列已知的递推关系式的特点，选择适当的方法求数列的通项公式是重点，也是难点。这类题目考生不容易掌握，有时甚至无从下手。在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出数列相邻两项递推关系的题型，我们选择“构造法”进行推导，往往给人耳目一新的感觉。现通过几个具体问题的分析谈谈常用的构造数列的方法。

一、构造等差数列

【案例1】在数列■

【分析】根据数列已知的递推关系式的特点进行适当的转化，可知数列■是等差数列。

【解析】

■

数列■是以1为首项，以1为公差的等差数列.

■

【小结】解题关键是发现数列递推关系中与的关系，构造出等差数列，求出数列{}的通项公式。

二、构造等比数列

【案例2】在数列{an}中，a1=1，an=3an-1+2n，求数列{an}的通项公式.

【分析】根据数列已知的递推关系式的特点，可知数列{an+k.2n}是公比为3的等比数列。

由an+k.2n=3（an-1+k.2n-1）■得k=2，于是数列{an+2.2n}，即数列{an+2n+1}是以a1+22为首项，以3为公比的等比数列。

【解析】

■

数列{an+2n+1}是以5为首项，以3为公比的等比数列.

■

【小结】若数列的递推关系可化为“an=qan+1+bn”型，则求数列{an}的通项一般可以采用“构造等比数列法”，由■确定k，于是数列{an+k.bn}是以a1+k.b为首项，以q为公比的等比数列，求出数列{an}的通项公式。

【案例3】设数列{an}满足a1=3,an+1=2an-n+1，求数列{an}的通项公式.

【解析】不妨设■

上式与已知递推关系式an+1=2an-n+1等价，比较系数得A=-1,B=0

■

是首项为2，公比为2的等比数列.

【小结】若数列的递推关系式可以化为■型,其中f(n)可以是非零常数、关于n指数式、关于n的一次式等，则数列可以通过待定系数法构造新数列。

通过以上三个案例我们发现，有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式。这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现。总之，数列的递推关系式往往比通项公式还重要，我们要重视数列的递推关系式，依据递推关系式的特点，选择恰当的方法，达到解决问题的目的。

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