基于土木结构递阶分散控制的稳定性研究

基于土木结构递阶分散控制的稳定性研究

于彩峰,段晓娟

于彩峰；段晓娟（黑龙江省建工集团有限责任公司，哈尔滨150000）

摘要：采用递阶分散控制的方法对土木结构进行振动控制，同时结构满足稳定性要求。控制作用分为局部和全局控制两级，局部控制器对子结构的振动控制，用李雅普诺夫方法来获得子结构稳定，而全局控制器来减小子结构之间相互作用而保证结构全局稳定性。对悬臂梁结构进行了控制稳定性仿真分析，将振动仿真结果与集中控制的结果进行对比分析。结果表明，基于递阶分散的控制方法保证大型土木结构的稳定性。

关键词：稳定性；李亚普诺夫方法；递阶分散控制；土木结构

中图分类号：TU31文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）09-0115-02

0引言

结构的镇定是结构控制理论中的一个重要的问题。通常用两种方法来研究分散控制的镇定问题：一是以整体结构模型来考虑分散化镇定；二是各子结构分别镇定，同时保证整个结构的稳定性。由于后者计算量小，可靠性较高，引起很多人的注意。基于这种思路采用李雅普诺夫第二方法来研究分散控制及稳定的就有M.Ikeda，D.D.Siljak[1]，M.K.Sundareshan[2]等人。李雅普诺夫第二方法是俄国学者李亚普诺夫在1892年发表的《运动稳定性的一般问题》论文中提出来得。其特点是直接由系统的运动方程出发，构造一个类似于“能量”的李亚普诺夫函数，分析它和它的一次导数的定号性，从而获得系统的稳定性的有关信息。

大型多自由度结构控制分散方法就是将结构看作多个子结构的耦合关联系统，在不考虑子结构的关联作用下，对每个子结构单独设计控制器，它能使得各个闭环子结构系统达到稳定。但这样控制存在一个问题，就是子结构系统稳定能否保证全局结构稳定性。我们想是否可以在子结构可控的条件下，通过忽略或尽量减少耦合项的影响，来达到整个结构稳定的目的[3]。当结构达到分散镇定后，其稳定性不再受关联作用的影响。

因此，本文以土木结构为研究对象，采用递阶分散控制的方法来满足结构的稳定性要求。即用局部控制器控制子结构获得局部稳定，而用全局控制器来减小子结构之间相互作用而保证整个结构全局稳定性。

1递阶分散控制方法

根据协调和分解的原则，可以对一个多自由度结构进行递阶分散控制。具体方法是将这个多自由度结构分为s个子结构，通过s个局部控制器分别对s个子结构进行分散控制，全局控制器负责协调个子结构的性能。

其中，任意一个子结构的状态方程可用下式表示：

（1）

其中Xi是第i个子结构的状态向量，其元素为第i个子结构的位移响应和速度响应，Ai，Bi，Di分别是第i个子结构的系统矩阵、控制力输入矩阵和环境干扰位置矩阵，矩阵Aij是第j个子结构（j≠i，j=1，2，…s）对第i个子结构的影响矩阵，Ui是第i个子结构的控制输入。

由于的存在，使每个子结构在信息传递过程中不但含有本子结构的信息，同时也包含了其他子结构的信息。它的存在有可能导致本子结构信息受到影响，有可能使该子结构失去稳定性。

递阶方法就是将控制输入分为两项:

（2）

其中Uli为局部控制力，Ugi为全局控制力。全局控制力是由递阶控制系统协调级的全局控制器提供的；而局部控制力是由递阶控制系统的控制级，即各个子结构的局部控制器提供的，整个结构通过这两项控制来实现结构的控制目标。

2递阶分散稳定的分析

按照先局部后整体的思路来分析结构稳定性，对于一个给定的多自由度结构，先把它分解成s个子结构，通过全局控制力消除子结构间的关联，得到孤立子结构，采用李雅普诺夫第二方法分析每个解耦子结构，进而推导出整个结构的稳定性。

将（2）式代入（1）式，得到闭环控制的递阶分散结构表达式:

（3）

（3）式的右侧有两项：第一项是被解耦的子结构项，通过LQR最优控制方法解Riccati方程获得的局部反馈控制力；第二项是各个子结构之间关联项，通过协调级产生全局控制力的形成闭合反馈控制。

由于各子结构间的关联作用，子结构闭环系统的稳定性并不能保证全局结构系统的稳定性，通过设计全局反馈增益GTij使得Aij-BiGTij=0，来消除子结构间的关联效应保证全局稳定性。

这样得到了完全解耦的闭环控制的递阶分散结构：

（4）

令A=Ai-BiGTi，则解耦的结构闭环状态矩阵可以写成A=diag·block[A11A22…Ass]。在此情形下，全局稳定性可由子结构系统的稳定性来保证，因此根据子结构稳定性来保证全局结构的稳定性是十分必要的[4]。

假定结构具有完全分散的信息结构时，每一个子结构的（Ai，Bi）是完全可控的。选取局部反馈增益GTi使矩阵A的特征值都位于复平面左侧，保证每个子结构都稳定。由最小化性能指标可给出局部反馈增益阵:

GTi=-Ri-1BTiPi（5）

式中Pi>0为稳态矩阵Riccati方程的解:

ATiPi+PiAi-PiBiRi-1BiTPi+Qi=0（6）

对于任意一个子结构，构造Lyapunov函数：

v（Xi）=XTiPiXi（7）

由于Pi正定，所以v（Xi）>0。

对v（Xi）=XTiPiXi求导，可得

（8）

由于Ri正定以及Qi半正定，可得，根据李雅普诺夫第二方法，由此可知由递阶分散控制方法建立的结构是渐进稳定的，即所有闭环子结构系统的系统矩阵（Ai-BiGTi）的特征值应都具有负实部。

3控制仿真及结果

在Taft地震波作用的悬臂梁，梁长L=0.475m，梁高H=3.0×10-2m，梁宽B=1.5×10-3m，惯性距I＝8.438×10-12m4，密度ρ=2.7×103kg/m3，弹性模量E=7.0×1010N/m2。结构有限元建模共分为6个节点，每个节点有2个自由度，用状态空间的形式表达，结构的状态向量分别为挠度和转角，整个结构共计12个状态向量。

采用LQR控制算法，分别对悬臂梁的振动进行集中和递阶分散两种的控制仿真。在递阶分散控制时，是把结构分为两个子结构。通过Matlab计算得到集中和分散控制两种情况下的闭环系统的特征值。

可以看出无论是集中控制还是递阶分散控制，它们的特征值均具有负实部，说明在集中和递阶分散控制下悬臂梁结构都是镇定的。如果特征值均的负实部在图中左半平面数值离坐标轴越远，说明其稳定性越好。而且通过特征值的数值对比，递阶分散控制子下结构1和集中控制两者的数据变化不大。说明两者的稳定性基本一致。但递阶分散控制子结构2的数据相对集中控制的较小，说明子结构2的稳定性相对于集中控制降低了。

这样的结果说明，由于对于悬臂梁这样的结构，与集中控制相比，在递阶分散控制下，在结构的固定端约束大，能量交换的相对一致，所以稳定相对变化一致。而在自由端，结构的约束相对小，则稳定性相对降低了。

4结论

采用递阶分散的控制方法对土木结构进行振动控制，来满足结构稳定性要求。各子结构的控制器设计仍通过集中控制的方法来实现，局部控制器控制子结构获得局部稳定，全局控制器用于减小子结构之间相互作用，通过李雅普诺夫方法保证整个闭环结构稳定性。算例结果表明，文中所给控制方法能够较好地对柔性悬臂梁结构进行了振动控制。因此，所给控制方法易于保证大型土木结构的稳定控制。

参考文献：

[1]M.Ikeda.，D.D.Siljak.DecentralizedStabilizationofLargeScaleSystemswithTimeDelay.LargeScaleSystems.1980，1（4）:273-279.

[2]M.K.Sundareshan.，DecentralandMultilevelControllabilityofLarge-ScaleSystems.Int.J.Control.1979，30（1）:71-80.

[3]Sezer.M.E.，Huseyin.StabilizationofLinearTimeInvariantInterconnectedSystemsUsingLocalStateFeedback.IEEETransonSystems，Man，andCybernetic.1978，8（10）:751-756.

[4]Malur.K.Sundareshan，RefaatM.Elbanna.DesignofDecentralizedObservationSchemesforLarge-scaleInterconnectedSystems.SomeNewResult，Proc.ofthe11thTriennialWorldCongressofIFAC.Vol.1，USSR.1990，780-796.