高等数学中的数学结构与数学理解

高等数学中的数学结构与数学理解

刘国庆

刘国庆（佳木斯职业学院，黑龙江佳木斯154002）

摘要：高等数学在大学教学中是重要的基础课程之一，随着当前社会发展中，各种教学模式和教学内容的不断完善与细分化，在数学中，各种内容和结构的理解成为当前教学中的重点形式。文章从分析高等数学的内容结构出发，对高等数学中的结构与理解进行分析，阐述其中所起的租用，并作出简单的剖析。

关键词：高等数学；教学结构；数学理解；概念

对数学来说，结构无处不在，在数学教学中是通过由诸多的节点和连线绘制成一种稳定性的系统结构，更是数学教学中的基本概念。它们之间的联系组成了知识网络的结构，是组成高等数学的主要知识结构，剖析和理解这些结构有助于在高等数学学习中对知识的理解和认知。由于理解是学习数学的关键，学生可以通过对数学知识、技能、概念与原理的理解和掌握来提高和充实其对数学的认知能力，从认知结构，特别是结构的建构观点来看，数学学习不是语文学习那样子的死记硬背，并不是通过对数学概念和原理法则的记忆就能够理解其各种知识点，是在学习的时候充分发挥其学习效果，如果在心理上能够组织起适当的、有效的认知结构，并且使得在数学教学中能够充分的发挥其内部知识网络的理解认知措施，在当前数学教学中有着重要的作用，更是提高数学理解能力的关键。

1高等数学内容的结构特点

高等数学以极限思想为灵魂，以微积分为核心，在学习中包括对各种级数在内的问题分析和控制管理措施，它们都是从量的方面研究事物运动变化的数学方法，在认识的过程中是通过几种不同性质的本质区分问题技能型探讨。连续性质是自变量增量趋于零时，函数对应增量的极限；导数是自变量增量趋于零时，函数的增量（偏增量）与自变量增量之比（差商）的极限；一元或多元积分都是和式的极限，而无穷级数则是密切联系序列极限的另一种极限。微分是从微观上揭示函数的有关局部性质，积分则从宏观上揭示函数的有关整体性质，它们之间通过微积分基本定理联系起来；广义积分把无穷级数与积分的内部沟通起来；而微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机地联系起来，展示了它们之间的内在的依赖转化关系。

在高等数学学习中主要的工作是通过具体方式和方法对教学中的各种新旧知识进行联系，使得其在处理的过程中能够准确的进行分析与管理。使概念的心理表象建构得比较准确，与其它概念表象的联系比较合理，比较丰富和紧密。在学习一个新概念之前，头脑里一定要具备与之相关的储备知识，它们是支撑新概念形成的依托，并且这些有关概念的结构，是能够被调动起来的，使之与新概念建立联系，否则就不会产生理解。所以要使新旧知识能够互相发生作用，建立联系，有必要建立一个相应的数学结构，以加强对基础知识的理解。布鲁纳的认知结构学习论认为，知识结构的学习有助于对知识的理解和记忆，也有助于知识的迁移。在微积分的学习中，通过对其结构的剖析，使学习者头脑中的数学结构处于不断形成和发展之中，并将其发展的结构与已形成的结构统一起来，以达到对数学知识的真正理解。

2如何利用结构加强理解

2．1注重整体结构理解

当代著名的认知心理学家皮亚杰认为“知识是主体与环境或思维与客体相互交换而导致的知觉建构，硕士知识不是客体的副本，也不是有主体决定的先验意识。”虽然现今的教材基本上按一定框架编写，但其中相关的知识点要在学生的头脑中形成一个网络，并达到真正理解，还需要一个很长的过程，在这个过程中需要师生的共同努力。在教学中教师应将数学逻辑结构与心理结构统一起来，把学生看成是学习活动的主体，引导学生根据自己头脑中已有的知识结构和经验主动建构新的知识结构。心理学家J．R安德森认为：通过多种方式应用我们从自己的经验中得到知识，认知才能进行。理解知识的前提是理解它如何在头脑中表征的，这个过程主要表现为学生对概念的理解和掌握，在此基础上再加以运用，达到更深意义上的掌握。

由于高等数学具有清晰的数学结构，因而其相关知识学习中也充满了知识的同化过程。在高等数学知识结构中，微积分建立在极限的基础之上。

因此在高等数学中，新知识获得要依赖于认知结构中原有的适当观念，同时新旧知识还必须要有相互作用，即新旧意义的同化，才能形成高度分化的认知结构。如微分是差商的极限，积分为微分的逆运算，而定积分则为和的极限，只有将这些新旧概念在头脑中不断同化作用，才能形成新的高级知识结构网络，才能加强对相应数学知识的真正理解。这个过程实际上是一个内部认知过程，它要求学习者要有积极主动的精神，即有意义学习倾向；同时还要在学习者的认知结构中找到适当的同化点。学生的认知结构是从所接受的知识结构转化而来的，因此教学是一个动态的过程。

2．2注重结构中的概念理解

数学结构是有许多个结构所组成的，而个别的概念一定要融人其它概念，合成的概念结构才有用。数学中的概念往往不是孤立的，它们之间存在着一定的联系，理清概念之间的联系，既有助于数学结构的建立，有助于新的概念地自然引入，从而有助于对数学知识的理解与掌握。在微积分这部分内容中，多元函数的极限、连续、偏导数、全微分、方向导数这组概念之间的联系，与一元函数中的极限、连续、偏导数、微分概念之间的联系，这两者之间既有相同之处，又有不同之处，而且每个相对的概念之间又存在一定的联系与区别，多元函数中许多微分概念是在一元函数基础上的推广与发展，它们是密不可分。积分学中的定积分、重积分、二类曲线积分、二类曲面积分之间也存在着类似的关系。通过联想，可以从二维空间进入到三维空间，直至到更多维的空间，从有形进入无形，从现实世界进入虚拟世界，这样步步渗入，步步构建，不断引入新概念，不断更新组建数学结构，使学生头脑中的数学结构不断更新，不断完善，从而达到对知识的真正理解与掌握。

2．3在教学中利用数学结构加强学生的数学理解

教师对数学结构的理解对学生建立起自身的数学结构起着不可缺少的作用，只有理解数学结构，才能领会到数学逻辑结构所隐含的精神思想，才能建立自己的数学结构，才能理解数学。

首先，在数学中利用高等数学结构的纵向与横向联系，有意识地帮助学生建立自己的知识结构，如在利用求曲边梯形的面积来引入定积分的概念时，其基本思维方法是：分割、近似代替，求和、取极限，最后得出定积分的概念。

结束语

数学结构在高等数学教学中有着不可缺少的作用，更是理解数学知识的关键。只有在教学中通过对数学结构进行综合分析和探讨，要使新旧知识能够互相发生作用，在学习过程中建立完善的联系，使得其能够以一套系统化数学结构形式进行分析，以其加强对数学基础知识的理解。