极大极小投资组合模型

极大极小投资组合模型

那海峰

那海峰NaHaifeng（四川大学数学学院，成都610064）

（CollegeofMathematics，SichuanUniversity，Chengdu610064，China）

摘要：本文讨论了摩擦市场中，可以卖空的基础上，构造最优投资组合选择的极大极小模型。应用经典的KyFan极大极小不等式定理，将其转化为两个二次规划问题，并给出最优投资组合的表达形式。

Abstract:Inthispaper,weconstructaminimaxmodelfortheoptimalportfolioselectioninafrictionmarket,atthesametimeshortsalesofriskassetsisallowed.Intheprocessofsolving,KyFanminimaxinequalitytheoremmakesitintotwoquadraticprogrammingproblems,andtheexpressionofoptimalportfolioispresented.

关键词：极大极小方法；投资组合；摩擦市场

Keywords:minimax；portfolio；frictionmarket

中图分类号：F21文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）08-0141-01

0引言

投资组合模型首先由Markowitz[1]提出，此后众多学者将其推广、改进、发展、完善，取得了一系列的研究成果。其中，文献[2]中提出了一种新的投资组合模型——极大极小方法，但未考虑摩擦因素且有卖空限制。所谓摩擦是指市场不是理想化的，存在税收、佣金等交易成本。文献[3]研究发现，忽略交易费用会导致无效的投资组合。文献[4]研究了有摩擦的极大极小模型，但不可以卖空。本文中，基于文献[2]中的极大极小方法，即在最不利的收益率条件下，寻求最优的投资策略。以文献[5]提出的V型函数刻画交易费用等摩擦因素，并取消卖空限制，建立更加符合实际情况的极大极小模型。

1建立模型

在一个有摩擦的资本市场中，假设它有n个收益率为随机变量的风险资产，摩擦因素与交易量成正比，投资者希望在这n个风险资产之间分配其资金。引入符号：ri：风险资产的随机收益率（i=1，…，n）；ri：风险资产的期望收益率，ri=Eri（i=1，…，n）；σij：i与j的协方差covi，j（i，j=1，…，n）；xi：投资在风险资产i的投资比例（i=1，…，n）；已投资在风险资产i的投资比例（i=1，…，n）；ci：风险资产的摩擦系数（i=1，…，n）。

1.1假设1：协方差矩阵是正定的。

1.2假设2：ri不精确知道，但已知如下事实：①ri有一个序，即ri?叟ri+1（i=1，…，n-1）。②每个ri落在一个已知的区间里，即airibi（i=1，…，n）其中，ai和bi是常数，可以从历史数据中估计。

作为理性的投资者，不但希望最大化投资组合的的期望收益，而且希望最小化由方差度量的风险。所以，必须在ER（x）和VarR（x）之间权衡。引入ω作为风险回避因子，ω越大，投资者越回避风险。ω=1，投资者极度回避风险，只关注风险而忽略收益；ω=0，投资者完全不关心风险，只是冒险的追求收益。理性的投资者，不应只是关注收益或是只是关注风险，因此会在（0，1）选择适当的ω。同时由于不确切知道ri，所以投资者会选择最不利情形下最有利的投资策略。令1-ω和ω作为ER（x）和VarR（x）的权重系数，建立极大。

2模型求解

根据文献[6]中的极大极小不等式定理，显然可以验证r的可行集是紧凸集，x的可行集是线性空间中的凸集，F是r的连续凸泛函，F在x的可行集上是凹的，故可以得出：

解决模型P1，首先固定r，考虑以x为变量的极大化问题

2.1定理1：模型P2有唯一最优解：

证明：该模型是一个关于x的凸二次规划问题，利用Lagrange乘子法求解。

2.2定理2：模型P3存在唯一最优解r*。

证明：∑1由假设可知是正定的，目标函数是凸的，可行集也是凸的，该问题是一个凸优化问题，根据凸分析的知识，模型P3的解一定存在且唯一。根据定理1和定理2，模型P1的最优解是：

参考文献：

[1]MarkowitzH.Portfolioselection[J].JournalofFinance，1952，7：77-91.

[2]李仲飞，汪寿阳.投资组合优化与无套利分析[M].科学出版社，2001，18-70.

[3]ArnottRD，WangerWH.Themeasurementandcontroloftradingcost[J].FinancialAnalystsJournal，1990，46（6）：73-80.

[4]赵靖，修乃华.带交易费及不允许卖空和借贷情况下的极大极小模型[J].北方交通大学学报，2004，28（3）：52-55.

[5]YoshimotoA.Themean-Varianceapproachtoportfoliooptimizationsubjecttransactioncosts[J].JournaloftheOperationalResearchSocietyofJapan，1996，39（1）：99-117.

[6]张石生.变分不等式及其相关问题[M].重庆出版社，2008，82-89.