一类概率求法的探究及其应用

一类概率求法的探究及其应用

黄志华

一类概率求法的探究及其应用

黄志华

摘要：概率计算是高考的重要内容。本文通过具体问题的求解分析，对概率的求法进行了探究。

关键词：；概率；求法；应用

作者简介：黄志华，任教于江西瑞金教师进修学校。

例1：甲、乙两人分别有赌本20元与10元，他们利用投掷一枚均匀硬币进行赌博（出现正、反面的概率都是），约定如果出现正面甲赢10元，出现反面则乙赢10元。直至其中一人赢得所有的钱，游戏结束。试求甲、乙赢钱的概率各是多少？

分析：游戏时，会出现一种情况：第一次乙赢，第二次甲赢，第三次乙赢，第四次甲赢……如此循环发生，显然一个循环就是乙赢一次甲赢一次。所以这个事件是一个可循环事件。其分类有无穷多种，我们只要将每类的概率计算出来再求和（转化为无限等比数列求和利用极限求出它的和），从而计算出要求的概率。

解答：（1）设甲赢钱的概率是甲。

第一种情况，第一次甲赢钱，游戏结束，其概率1=；

第二种情况，第一次乙赢钱，第二次甲赢，第三次甲赢，则游戏结束，其概率2=；

第三种情况，第一次乙赢钱，第二次甲赢，第三次乙赢，第四次甲赢，第五次甲赢，则游戏结束，其概率2=；

……………………………

从上述分析可以看出，其中的循环过程就是乙赢一次甲赢一次,可归纳出循环过程发生了n次，则其概率为n=。

所以甲赢的概率甲===。

而乙赢钱的概率乙=1—甲=1—=。

从上述解答过程可以得出：设可循环事件发生且循环过程发生0次时概率为，循环过程发生一次的概率是，则循环过程发生n次时该事件的概率=，所以可循环事件发生的概率===。

定义：象例1中的事件，在一定条件下，某个事件发生时会出现一个循环过程，并发生n次，象这样的事件我们叫做可循环事件。

可循环事件的发生比较复杂，计算它的概率在分类时往往可以分成无穷多类，对这种事件在高中概率中一般不做要求，但是可以发现，每一类的概率都可以计算出来，而且每类之间有必然的联系，只是循环过程发生的次数n不同，结合高中所学过的等比数列与极限知识，就可以计算出这种事件的概率。

定理：设可循环事件发生且循环过程发生0次为，发生一次循环过程的概率是，则可循环事件发生的概率=。

那么，可循环事件的概率就可以应用上述定理进行求解。

例2：一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，每次从中任取一件（每件产品被抽取的概率相同），检验后放回，直至连续两次检验结果为正品或次品检验结束，求最后结果为次品的概率。

分析：按题设检验方法检验，检验过程可无限循环进行下去：一次正品，一次次品或一次次品一次正品，是一个可循环事件。

解答：最后要检验出来是次品，即要连续两次检验结果是次品，分两种情况：

1.第一次抽取出来的是正品时，要最后检验结果是次品。检验结果发生0次循环过程的概率是=,一次循环过程即抽取次品一次正品各一次其概率=，所以，这种情况下检验出是次品的概率1===。

2.第一次抽取出来的是次品时，要最后检验结果是次品。检验结果发生0次循环过程的概率是=，一次循环过程即抽取次品一次正品各一次其概率=，所以，这种情况下检验出是次品的概率2=。

综上所述：最后检验结果为次品的概率=12==。

如果可循环事件用分类求和解法比较麻烦，而利用本文给出的求解定理则比较简单的就可以计算出可循环事件发生的概率。下列问题也是求可循环事件的概率，请试解之。

例3：甲、乙、丙三人进行比赛，规定甲、乙两人先比，胜者与丙比，依次循环，直至一人连续连胜两次为止，此人即为冠军，假定比赛双方取胜的概率都是，求各人得冠军的概率。

分析与解答：这个比赛过程可以一直循环进行下去，所以是一个可循环事件。由题意，甲、乙两人获得冠军的概率是相同的，我们可以先求出丙获冠军的概率。可以甲先胜，然后丙连胜两次，或者乙先胜，然后丙连胜两次，即在循环过程发生0次时，其概率，而可循环过程是丙胜一次、乙胜一次、甲胜一次，它发生的概率=，根据定理，所求丙获冠军的概率丙=，所以甲、乙获冠军的概率甲乙。

解答：最后要检验出来是次品，即要连续两次检验结果是次品，分两种情况：

1.第一次抽取出来的是正品时，要最后检验结果是次品。（1）第二次是次品，第三次也是次品则检验结束，其概率为P1=;（2）第二次是次品，第三次是正品，第四次是次品，第五次是次品则检验结束，其概率为P2=（3）第二次是次品，第三次是正品，第四次是次品，第五次是正品，第六次是次品，第七次是次品则检验结束，其概率为P3=……从上述分析可以看出，其中的循环过程就是抽取出正品一次和次品一次，而循环过程发生一次，概率为，所以循环过程多发生一次，其概率就应该多乘，可以归纳出第一次取出的是正品时，循环过程发生了n次，则其概率为Pn=。由此可得：这种情况下的概率

P正===

2.第一次抽取出来的是次品时，要最后检验结果是次品。

（1）第二次也是次品则检验结束，其概率为P11=；（2）第二次是正品，第三次是次品，第四次是次品则检验结束，其概率为P12=；（3）第二次是正品，第三次是次品，第四次是正品，第五次是次品，第六次是次品，则检验结束，其概率为P13=。

从上述分析可以看出，其中的循环过程就是抽取出正品一次和次品一次，而循环过程发生一次，概率为，所以循环过程多发生一次，其概率就应该多乘，可以归纳出第一次取出的是正品时，循环过程发生了n次，则其概率为Pn=。由此可得：这种情况下的概率P次===。

综上所述：最后检验结果为次品的概率p=p正+P次=+=。

作者单位：江西瑞金教师进修学校

邮政编码：342500

OnSolutionstoProbabilityandItsApplication

HuangZhihua

Abstract:ProbabilitycalculationisanimportantcontentinNMT.Thispaperprobesintosolutionstoprobabilityaccordingtoananalysisofspecificproblems.

Keywords:probability;solutions;application