支墩刚度对轨道梁自振频率的影响分析

支墩刚度对轨道梁自振频率的影响分析

周海良1安中华2

（1、浙江兴科科技发展投资有限公司，浙江嘉兴3140002、北京电子科技学院，北京100070）

摘要：城市高架轻轨得到普遍应用，但对轨道梁的动力分析多不考虑支墩刚度的影响，可能导致错误结果。将支墩模拟为弹簧，分析了支墩变形对轨道梁自振频率的影响，结果表明影响确实巨大，在可能情况下必须同时考虑支墩的影响。

关键词：轨道梁；支墩刚度；自振频率

随着社会的发展，城市轻轨得到大规模的发展，简支或连续的轨道梁得到大规模的应用，轨道自身的耐久性以及噪声扰民问题得到越来越多的重视。在轻轨或地铁车辆荷载的作用下，通常需要对轨道梁进行动力分析。遗憾的是构建力学模型时通常都采用梁模型，而忽略支墩变形的影响。在建立梁模型时考虑了支墩刚度的影响，结果表明支墩的变形对轨道梁的自振频率有较大影响，在某些情况下甚至可能导致错误的结果，给轨道结构带来安全隐患。

以下讨论考虑梁的竖向、横向以及纵向振动，同时需要考虑支撑短柱的影响，但不考虑梁各方向振动的耦合，也不考虑梁的扭转振动。轨道梁放置在墩柱上，墩柱的作用可以简化为弹簧的作用。不考虑阻尼作用。

1轨道梁的纵向自由振动

一般均质梁的纵向振动方程为

(1)

此式即为一维波动方程，式中?籽为材料质量密度，EA为轴向刚度，为杆件中纵向应力波波速。

式(1)可由分离变量法求解，解得的结果为

(2)

式中，其他常数由初始条件及边界条件确定。

杆件内轴力(3)

1.1单跨简支轨道梁的纵向振动

单跨轨道梁纵向振动力学模型如图1a所示，图中弹簧刚度k为支墩的抗侧移刚度。显然此结构为对称结构，可按振型对称和非对称两种情形求解。

a.对称振型

如图1b，固定端边界条件：x=0时u(0,t)=0

即，故C2=0。

弹性端边界条件：时

即

上式在任意时刻均成立，为有非平凡解须

(4)

此即为所求频率方程，其中为刚度比，以下同。

b.反对称振型

如图1c，自由端边界条件：x=0时N(0,t)=0即，故C1=0。

弹性端边界条件：时

于是得到频率方程

(5)

1.2双跨连续简支轨道梁的纵向振动

双跨轨道梁纵向振动力学模型如图2a所示，图中弹簧刚度k为支墩的抗侧移刚度。为方便取等跨，总跨度为2L。显然此结构为对称结构，同样可按振型对称和非对称两种情形求解。

a.对称振型

如图2b，显然这种情形与单跨梁的对称振型完全相同，故同样可得其频率方程为

(6)

b.反对称振型

如图2c，弹性左端边界条件：x=0时

弹性右端边界条件：x=L时

从而得到频率方程

(7)

2轨道梁的横向自由振动

采用贝努利-欧拉梁假设，其一般振动方程为

或(8)

式中。

运用分离变量法可得

(9)

式中，常数应由边界条件及初始条件确定。

从而可得梁内剪力

(10)

及梁内弯矩

(11)

2.1单跨简支轨道梁的横向振动

单跨轨道梁横向振动力学模型如图3所示，图中弹簧刚度k为支墩的对轨道梁的横向约束刚度。显然此结构为对称结构，可按振型对称和非对称两种情形求解。

a.对称振型

如图3b，滑动端边界条件：x=0时

，

弹性端边界条件：且

可得到频率方程(12)

其中为刚度比，以下同。

b.反对称振型

如图3c，铰支端边界条件：x=0时

弹性端边界条件：时，

且

于是有频率方程(13)

2.2双跨连续简支轨道梁的横向振动

双跨轨道梁横向振动力学模型如图4a所示，图中弹簧刚度为支墩的对轨道梁的横向约束刚度。为方便取等跨梁，总跨度为。显然该梁为对称结构，可按振型对称和非对称两种情形求解。

a.反对称振型

如图4b，显然这种情形与单跨梁横向振动的反对称振型完全相同，故同样可得其频率方程为

(14)

b.对称振型

如图4c，弹性左端边界条件：x=0时

且

弹性右端边界条件：x=L时，且

于是得频率方程

此即为所求频率方程。

可以验证上述各梁的频率方程当弹簧系数趋于零(自由)或无穷大(刚性约束)时可以正确地退化到相应的解析解。求解各频率方程即可求得相应各梁的各阶频率。当然振型是很复杂的，这里不再考虑。

3轨道梁的振动频率分析结果比较分析

依照某实际工程,轨道梁的跨度分别为12m单跨简支梁和3m单跨的双跨简支连续梁。

据此可以得到各梁在纵向、横向和竖向振动时的刚度比如表1，

注：Eb和Ec分别为轨道梁和支墩的混凝土弹性模量；

H为支墩高度；Ac为支墩截面积；Ic1和Ic2分别为支墩截面两轴的惯性矩；

Ab为轨道梁截面积；Ib1和Ib2分别为轨道梁截面两轴的惯性矩。

注：考虑指考虑了支墩变形；不考虑指未考虑支墩变形；差指

两者的差别。

进而按以上各频率方程得到各情形下的自振频率，并与不考虑支墩变形的情形做比较。

由表1可知，轨道梁发生竖向和横向振动时刚度比很小，表明支墩对梁的约束刚度与梁的抗弯刚度相比很大，但纵向振动时的刚度比接近于1。双跨连续梁的刚度比均大于相应的单跨梁，因此支墩的变形对梁的振动影响更大，故必须首先讨论刚度比对梁振动的影响。

首先讨论是否考虑支墩变形对单跨梁振动频率的影响，如表2。

括弧内数字为相应刚度比。

由表2可见，刚度比接近于1时单跨梁纵

注：考虑指考虑了支墩变形；不考虑指未考虑支墩变形；差指

两者的差别。

括弧内数字为相应刚度比。

向振动的频率差异极大，但随着阶数的增加支墩变形的影响在减弱；尽管单跨梁横向振动和竖向振动时刚度比很小，但支墩变形对频率的影响最大达到了20%以上，且随着阶数的增加有增加的趋势。

由表3可得到与表2接近的结论，即刚度比接近于1时双跨梁的横向振动的频率差异极大，且随着阶数的增加支墩变形的影响在减弱；尽管双跨梁竖向振动时刚度比很小，但支墩变形对频率的影响最大达到了20%以上，且随着阶数的增加有增加的趋势。支墩变形对双跨梁连续轨道梁纵向振动的影响尤其剧烈，其刚度比甚至达到了54.8。

综合表2和表3的分析，支墩变形对轨道梁振动特性的影响不可以忽略不计。当然支墩变形对轨道梁在列车荷载作用下的动力响应是否有严重影响，除了轨道梁自身的动力特性之外，还取决于激励荷载的特性，需要作进一步的激励分析。考虑到轨道梁纵向振动的频率值比较高，通常低速车辆驱动荷载不能激起明显的纵向振动，在列车作用下的纵向振动影响如何，需要进一步分析。但对轨道梁的横向振动和竖向振动，现有的资料表明列车的激励频率可能达到1000HZ，因此必须考虑支墩变形的影响，尤其是当采用高架支墩时支墩的刚度更小，问题可能更严重。

必须指出的是上述讨论中是将支墩简化为一个弹簧，其实质是考虑了支墩的变形特性，还没有考虑支墩的质量惯性，如果考虑这一部分质量，自振频率还会进一步降低。因此最好的解决方式是将轨道梁和支墩作为一个整体结构，作完整结构的动力特性分析。

4初步结论和建议

仅从结构动力特性看，轨道梁的自振频率受支墩(及基础)变形的影响比较大，在可能情况下须将轨道梁和支墩作为一个整体结构进行分析，这样除了考虑支墩变形的影响，还可以同时考虑支墩质量对结构动力特性的影响。在采用地面高架支墩时尤其需要注意这一点。

此外，不能完全排除在外荷载激励下轨道梁整体响应可能加剧，类似于刚性结构在地震长周期成分激励下有可能整体倾覆。因为除了结构本身的动力特性外，外荷载激励的频率特性和持续时间也是决定结构动力响应的重要因素。为了进一步探明这个问题，需要作在列车荷载下的轨道结构动力响应分析。

参考文献

[1]Dynamicsofstructures,RayW.CloughandJosephPenzien,Singapore:McGraw-Hill,1993

[2]StructuralDynamics:theoryandapplications,JosephW.Tedesco,WilliamG.McDougalandC.AllenRoss,MenloPark:Addison-Wesley,1999

[3]林家浩,曲乃泗,孙焕纯.计算结构动力学[M].北京:高等教育出版社，1990.