不等式的放缩策略

不等式的放缩策略

王维华尹丽娥

山东省昌邑市文山中学261300

不等式问题处理时经常会遇到需要进行放缩，此类问题典型特征是不等式不取等号，其中以与n有关的数列型不等式居多，本文就几种常见类型进行阐述。

一、利用常见不等式放缩

1.不等式＞（b>a>0，m>0）其中b<a时类似处理。

例：求证（1+1）（1+）（1+）…(1+）>2n+1。

解：利用假分数的性质>（b>a>0，m>0）可得··…>··…=··…·（2n+1）（··…）2>2n+1即（1+1）（1+）（1+）…（1+）>2n+1。

2.均值不等式。

例：求证：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn＞n·2(n＞1,n∈N)。

证明：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn=2n-1=1+2+22+…+2n-1＞n·1·2·22…2n-1=n·2，得证。

3.贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)。

例：求证（1+1）（1+）（1+）…（1+）＞2n+1（同第一个例题）。

利用贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)的一个特例：令n=2，x=得：（1+)2>1+2·，所以1+>∏(1+）=∏=2n+1。

4.柯西（Cauchy）不等式[∑(aibi）]2≤∑ai2∑bi2。

例：已知函数f(x)=lg,0＜a≤1，给定n∈N*，n≥2。

求证：f（2x）＞2f（x）（x≠0）对任意n∈N*，且n≥2恒成立。

简析：运用柯西（Cauchy）不等式[∑(aibi）]2≤∑ai2∑bi2的证法：f(2x)＞2f(x)lg＞2lg[1+2x+3x+…+（n-1)x+a·nx]2＜n·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a·n2x]而由Cauchy不等式得（1·1+1·2x+1·3x+…+1·(n-1)x+a·nx）2＜(12+…+12)·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a2·n2x]（x=0时取等号）≤n·[1+22x+32x+…+(n-1)2x+a·n2x]（∵0＜a≤1），得证！

5.不等式ln（1+x）＜x(x＞0)。

例：已知a1=1,an+1=（1+）an+。（1）用数学归纳法证明an≥2(n≥2)；（2）若ln（1+x）＜x对x＞0都成立，证明an＜e2。

解析：（2）结合第（1）问结论及所给题设条件ln（1+x）＜x（x＞0）的结构特征，可得放缩思路：an+1≤(1++)anlnan+1≤ln(1++）+lnan≤lnan++，于是lnan+1-lnan≤+，所以∑(lnai+1-lnai)≤∑(＋）lnan-lna1≤1-+=2--＜2，即lnan-lna1＜2an＜e2。

注：题目所给条件ln（1+x）＜x(x＞0)为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；另本题还可用结论2n＞n(n-1)(n≥2)来放缩。

二、裂项放缩

例：（1）求∑的值。

（2）求证：∑＜。

解析：（1）因为==-,所以∑=1-=。

（2）因为＜==2（-），所以∑

＜1+2（-+…+－）＜1+=。

三、利用单调性放缩

例：数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=（xn+）,n∈N。

1.证明：对n≥2总有xn≥a。

2.证明：对n≥2总有xn≥xn+1。

解析：构造函数f(x)=（x+）,易知f(x)在[a,+∞)是增函数。

当n=k+1时xk+1=（xk+）在[a,+∞)递增，故xk+1＞f(a)=a。

对2.有xn-xn+1=（xn-），构造函数f(x)=（x-）,它在[a,+∞）上是增函数，故有xn-xn+1=（xn-）≥f（a）=0,得证。

四、部分放缩

例：设an=1+++…+,a≥2。求证：an＜2。

解析：an=1+++…+≤1+++…+，又k2=k·k＞k(k-1),k≥2（只将其中一个k变成k-1，进行部分放缩），∴＜=-，于是an≤1+++…+＜1+(1-)+(-)++(-)=2-＜2。

五、换元放缩

例：求证1＜n＜1+(n∈N*，n≥2)。

简析：令an=n=1+hn，这里hn＞0（n＞1）,则有n=（1+hn）n＞hn20＜hn＜（n＞1）,从而有1＜an=1+hn＜1+。

放缩法是高中处理不等式问题的常规方法之一，掌握它操作思想是关键。它不拘泥于具体的题型、题目，简言之就是寻找不等式左右两侧之间的某个中间量。