借助数形结合，巧记三角函数“诱导公式”

借助数形结合，巧记三角函数“诱导公式”

覃晓燕

广西来宾市金秀县民族高中545799

摘要：三角函数是高中数学教学中的重要构成部分，既是重点又是难点，对师生双方来说均头疼不已，是由初中阶段“形象思维”向高中阶段“抽象思维”的过渡。三角函数的诱导公式一共有六组，记忆起来难度较大，教师可尝试借助数形结合引导学生巧妙记忆。本文对如何借助数形结合巧记三角函数诱导公式为探讨对象，并提出部分有效方法。

关键词：数形结合三角函数诱导公式

一、巧妙运用三角函数的奇偶性及图像上的特殊点

三角函数具有奇偶性特点，为借助数形结合帮助学生巧记三角函数的诱导公式，教师首先可巧妙运用三角函数的奇偶性展开教学。像奇函数即为满足f（-x）=-f（x）的函数，图像关于原点对称，显然sinx与tanx属于此类，在图1中能够看出这种奇偶性的存在。因此，只要画出sinx与tanx的图像，就能够轻松得出结论：sin（-x）=-sin（x），tan（-x）=-tan（x）。不过要注意到图1中的矩形，其与x轴的两个交点绝对值相同，而且同函数图像交点的纵轴数轴的绝对值也相同。即为：学生可以完全随意找出函数图像上的一点，依据其横坐标找出与其横坐标绝对值相同的，且位于原点另一侧横轴上的点对应的函数值，据此使用“特值法”理清诱导公式的关系。

图1.sinx和tanx的奇函数性

同时，高中数学教师可以根据偶函数的性质，即f（x）=f（-x），及其图像也能够快速记忆三角函数cos（-x）相关的部分诱导公式和变形。在图2中呈现的就是cos的偶函数性质，通过数形结合不仅能够让学生进行更加直观具体的记忆，还可以研究图2中的矩形，其与cosx的两个交点所代表的x两个横坐标绝对值相同，以此类推，同样运用“特值法”确定诱导公式的关系。

图2.cosx的偶函数性质

如此，教师巧妙运用三角函数的奇偶性，以及函数图像在坐标轴中的特殊点设计教学，将数形结合思想渗透其中，指导学生在数形结合辅助下更好地记忆三角形函数的诱导公式。

二、巧妙采用三角函数图像在不同定义域上的取值

高中数学教材中涉及到的三角函数诱导公式一共分为六组，如下表所示：其中第一组公式是周期组；第二组公式是半周期组；第三组公式是相反数组；第四组公式其实是半周期组和相反数组的混合使用，即为相反数组先进行变化，之后急需半周期组的变化；第六组公式可以称之为四分之一周期组；第五组公式则是相反数组与四分之一周期组的混合使用。

由表中内容可见，大部分三角函数的诱导公式或变形的诱导公式均是考察同一条函数图像上的变化，其中第一组公式和第二组公式可以直接反映出这种关系，而第四组公式则是这一关系和奇偶性的混合使用。为帮助学生快速、牢固记忆这些类似的三角函数诱导公式，高中数学教师可巧妙采用“平行线法”，即为先确定某一确定的三角函数值。诸如：sin（π/6）=0.5，那么能够在坐标轴中做出一组平行线y=0.5与y=-0.5，据此考察一至两个完整的函数周期，如图3所示，这样很多诱导公式之间的关系可以清晰呈现，学生看起来也是一目了然。

图3.正弦函数的平行线记忆法

在图3中还可以发现sin（-π/6）=-sin（π/6），sin（π/6）=sin（5π/6）=sin（π-π/6），以及sin（-π）=sin0=sin（-π+π）等关系，能够根据这些实际关系推广至第一组公式、第二组公式与第四组公式中。这样通过巧妙采用平行线记忆法，学生可以快速、高效地记忆三角函数的诱导公式，还能够掌握到更多的函数图像规律。

三、巧妙应用三角函数在平面直角坐标系上的平移

在三角函数中，因为坐标系中x轴是横轴，y是纵轴，x在这里有改变量，则左右平移：左加右减，如：y=sinxy=sin（x+π/3），（+π/3），所以向左平移π/3个单位，y=sinxy=sin（x-π/3），（-π/3），所以向右平移π/3个单位；y是纵轴，y在这里有改变量，则上下平移：上加下减，如：y=sinxy=sinx+3，（+3），所以向上平移3个单位，y=sinxy=sinx-3，（-3），所以向下平移3个单位。由此可以发现三角函数平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，假如平移函数sinx的图像，有可能与函数cosx的图像发生重合，在图4中能够清晰看出，这一规律能够帮助学生轻松记忆第五组公式与第六组公式。

同时，从图4中能够发现把sinx向左平移π/2个单位，或者把cosx向右平移π/2个单位，则两个函数的图像将会重合。如此，能够得出sin（a+π/2）=cosa，以及cos（a-π/2）=sina两者之间的关系。而且学生根据图4还能够清晰发现：假如把sinx向右平移π/2个单位就能够得到-cosx的图像，而把cosx向左平移π/2个单位则能够得到-sinx的图像。

再结合上文提到过的奇偶性，就能够轻松推导出第五组公式与第六组公式中涉及到的4个公式。这样教师巧妙应用三角函数在平面直角坐标系上的平移规律指导学生记忆诱导公式，可以锻炼学生的空间观念，指导他们在动态的数形变化中理解和记忆三角函数诱导公式的平移规律。

图4.sinx和cosx的平移变换

参考文献

[1]宁谞浅谈三角函数的诱导公式和应用[J].农家参谋，2017，（22），188。

[2]马聆风学习三角函数诱导公式的“三步法”[J].农家参谋，2017，（13），193。

[3]王远帆三角函数诱导公式六推导方法的跟踪与改进[J].数学学习与研究，2018，（01），113-114。