从破坏函数连续性的角度来探讨函数的间断点

从破坏函数连续性的角度来探讨函数的间断点

张国华（周口科技职业学院，河南周口466000）

摘要:函数的间断点是高等数学中的一个难点,特别是其类型的判别更始难点中的难点.文章另劈溪径从”破坏”函数连续性的角度来探讨函数的间断点,不但使函数的间断性变的更容易理解而且对于间断点的类型的判别更为简单.

关键词:高等熟学;间断点;连续性

函数的间断点的类型判别一直是高等数学中的一个难点,特别是在实际应用中更是不容易区分.我们知道函数的简断实际就是函数连续性的对立面,如果我们从打破函数连续性成立的条件的角度来研究函数的间断点,就会发现原本抽象难懂的函数间断点理解起来就会变的很简单。

1函数在某点连续成立的条件

设函数在点的某个邻域内有定义，若有则称函数在点处连续.

由此定义可知,函数在点处连续必须满足以下三个条件:

①函数在点的某个邻域有定义,即存在；

②存在,即左右极限存在且相等:；

③

这三个条件是函数在点处连续必须满足的条件，缺少任何一个都会使函数的连续性不成立，其中这个等式是函数连续性成立的核心所在，不管任何情况下这个核心等式都必须成立。这就为我们下面从破坏函数连续性的角度来研究函数的间断点提供了依据。

2函数的间断点的分类

①第一类间断点：函数左右极限都存在的点。这类间断点又有跳跃间断点和可去间断点两种情况。

②第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在的点

2从破坏角度来研究函数的间断点

①使函数连续的第一个条件遭到破坏：函数在点的去邻域有定义,但没有定义。于是核心等式中的就不存在，当然核心等式就不可能成立了.这时我们就认为函数不连续了，也就是间断。例如：在点处无定义，就是不存在，当然使在点处连续的那个核心等式不成立，于是我们就说在点处间断，根据定义知是的第一类间断点。

②使函数连续的第二个条件遭到破坏：不存在。于是核心等式中的就不存在，此时函数在点不连续，也就是间断。这种情况下极限又可以分两类：

第一类：在点的处左右极限至少有一个不存在。根据定义,这时的间断点是第二类间断点。例如：

第二类：在点处的左右极限都存在，但左右极限不相等。例如：函数，在的左极限，右极限，所以左右极限都存在但不相等，故为第一类间断点，且为跳跃间断点。

③使函数连续的第三个条件遭到破坏：。即核心等式中的等号不成立，此时函数在是不连续的，很显然又间断。由于核心等式中的极限存在,故就是第一类间断点.例如:

函数,在点处.由于,,,于是那么此时函数在点处非连续,即间断,且间断点是第一类间断点.

综合以上三个方面去破坏函数的连续性,就能系统的把函数所有的间断点搞清楚.在探讨函数的间断点时就会得心应手,不再会出现以往在处理这类问题的无从下手或者遗漏现象。其实客观世界中连续变化的事物很多,洞察其发展变化规律,在间断点处有其丰富的内涵,注意发现它特点和美妙之处.间断和连续是矛盾的两个方面,它们既相互联系又相互区别,二者能相互转化.

参考文献:

［1］葛云飞.新编高等数学教程[M].北京:科学出版社,2007.

［2］徐永利.关于第一类不连续点函数的介值定理和积分中值定理[J].数学的实践与认识,2003,(2).

［3］邹锐标.导数的间断点的研究[J].数学理论与应用,2002,(4).

［4］郭素霞,浅议导数的间断点类型[J].衡水师专学报,2002,(3).