对称性在解析几何中的应用

对称性在解析几何中的应用

陈庆云

陈庆云（莆田三中数学组福建莆田351100）

摘要：大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。对称不仅给人以美感，在解析几何中，有些对称图形，如果能充分挖掘图形中的对称因素，将对称思想应用到解题中，往往会收到意想不到的效果。

关键词：对称解析几何简化计算

中图分类号：G633.3文献标识码：A文章编号：1671-5691（2018）04-0132-02

对称美是数学美得特征之一，对称思想是重要的数学思想。对称是整体中各个部分之间的匀称和对等，在数学上常常表现为数式或图形的对称。对称是数学家们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。解题是一门艺术，对称性是艺术中一个非常重要的要素。对称原理在数学中许多知识领域，均可发现它的应用。现行的中学数学材料中按章节对对称问题进行系统编排，只分散地穿插在直线、曲线部分的题型中，历届高考也对对称图形频频考查。并且解析几何题总让人觉得计算繁杂，得分率低。在解题方面如果充分发掘和利用题目中的对称性，或挖掘其隐含的对称性，有时会使复杂的问题变得条理清晰，脉络分明，能化难为易，化繁为简，而且可以更深入地揭示问题的本质。因此研究对称性在解题中的作用很有必要。本文将通过一些实例，初步探讨对称在解析几何中的一些应用。

一、利用图形对称，直观解题

几何图形中，对称图形具有典型的视觉对称美，它不仅给我们以美感，还可以给我们提供直观的思考空间，拓广解题思路。

例1：矩形内任意一个圆，用一条直线将圆和矩形的周长二等分析：由于矩形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心的直线把圆平分，过矩形中心的直线平分矩形，所以要找的直线必过矩形中心B和圆心A，即过A、B的直线将矩形和圆二等分。

例2：求直线关于点的对称直线是（）

A.B.C.D.

直线关于点对称的直线与原直线平行，抓住这一特点，直接选D

二、审查题意，挖掘条件

对于一些数学问题，若能洞察到问题所具有的对称性，往往可将问题巧妙转化，使问题解题思路简捷、化难为易，避繁就简。

例3：的一个顶点，∠B，∠C的平分线所在的直线方程分别为和，求顶点B、C的坐标。

析：这个命题，初看起来似乎缺少条件，但利用它们的几何图形和性质，找出隐含的条件，问题就可以迎刃而解。由角平分线的性质知点A关于和对称的点A1，A2均在直线BC上，找到这一隐含条件，问题就转化成已知两点求直线。

例4：以为一个顶点，在x轴上找一点B，再在直线上找一点C，构成，使其周长最小。

在解析几何中关于距离最值问题中，往往通过轴对称、有关概念、性质等化曲为直，利用两点间线段最短来引导我们展开思考。

解：作A关于l的对称点,A关于x轴的对称点,连接交l于C，交x轴于B，求得，此时,所以当B为，C为时，的周长最小。

三、强化对称意识，简洁解题

一般学生都认为高中解析几何题都是计算繁琐，过程复杂。一拿到题就埋头苦做，唯恐浪费了时间。有些数学问题，用对称的眼光去观察、审视，通过形、式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系，往往能诱发解题灵感，简化解题过程。

例5：已知AB是过椭圆中心的弦，、是椭圆的焦点，求的面积的最大值。

析：常规解法要先求|AB|以及到直线AB的距离，才能求出面积的函数表达式，再用代数方法求出最大值。用这种方法解题，计算繁琐，过程复杂，让很多成绩不错的同学望题兴叹。考虑到A、B关于原点对称，、也关于原点对称，如果利用椭圆的对称性，连接、，补充平行四边形，则

设，

当时，的面积最大为48。

如此一来，原来很复杂的问题很简单就解决了。有些对称问题不仅考察了学生对对称美的感受能力，也考察对称思想的应用能力。

四、运用数式对称，简化运算

“不偏不倚，公平对待”这在数式对称式中，如不等式求最值的题型中，我们经常有此感受，在解析几何题中，也可利用这一点简洁解题。

例6：函数，点在曲线上运动，作，垂足为M，则的周长的最小值为_____________。

解：，设，不妨设，则的周长

当且仅当，即时，等号同时成立。此时

析：细心观察不难发现，点P正好落在一、三象限的角平分线上。其实，不用上面的解法，作为填空题，如果能够注意到，函数的图像关于原点对称，那么点P在第一或第三象限，周长的最小值应该是一样的。所以只考虑第一象限的情况，同时注意到关于直线对称，当点P从沿曲线向上或向下移动时，线段OP的长度逐渐增大，当点P越靠近轴或轴时，线段OP的长度越趋向于，的周长也越来越大，由此可见，当点P在直线上时，不偏轴或轴，此时周长最小。

五、利用形式上的对称，提供思路

圆锥曲线方法上的对称，形式上的对称，能为我们获取信息打开通道。

例7：抛物线上两点A、B满足,求证：直线AB恒过定点。

解：设，，分别作A、B关于x轴的对称点，

由，可得，，

得

同理，得

直线AB的方程：=0

同理直线的方程为

联立得

AB与的交点即为所求的定点。

析：此题有多种解法，难度都不大，根据抛物线的对称性，作作A、B关于x轴的对称点，，AB过定点，则也过此定点，且定点必在对称轴x轴上，发现这一特性，可以给我们指引解题的方向。

例8：已知有两个顶点在抛物线上，另一个顶点在此抛物线的焦点上的正三角形的个数记为n，则（）

A.B.C.D.

析：根据抛物线、正三角形的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点。故选C。

本文从解析几何的几个实例出发，阐述对称性在解题中的一些方法和技巧。从问题中发现对称，利用对称性解题的方法不拘一格，往往能收到出人意料的解题效果，有助于培养学生思维的灵活性和创新性。如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一看似简单，又蕴含深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征。对称性在高中数学的许多章节都有涉及，这就需要教师在教学中有意识地引导学生探索、感悟对称之美，让学生在欣赏对称美的同时，潜移默化地受到对称思想的熏陶，这是帮助学生运用对称思想去思维，主动用对称的眼光去思考数学学科，不仅在解题时能找到简洁的解法，在对数学的理解也能更加透彻和深入。

《参考文献》

1.《图形对称性在解题中的应用》

2.《重视数学教学中的对称性》

3.选修1-1《圆锥曲线复习》