《直线与平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计

王莹

北京市顺义区第九中学101300

一、教学过程：

（一）直观感知直线与平面垂直的形象

问题1：直线与平面的位置关系有哪几种？

问题2：如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面抽象为平面，如上图，请问这三个图形中的直线与平面的位置关系分别是怎样的？

反馈：它们的位置关系均为相交，但旗杆给我们的印象是垂直，而比萨斜塔和被大风吹歪了的电线杆则给人以不垂直的印象.

问题：假如我们要将被大风吹歪了的电线杆扶直，请问：怎样才能知道电线杆被扶直了？从数学角度来说，也就是怎样判定直线与平面垂直？

（二）抽象概括直线与平面垂直的定义

1、创设情境，分析感知

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线与平面垂直的定义．

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成

的角度是否会发生改变？

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B´C´的位置关系如何？依据是什么？

【设计意图】第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直.在这里，主要引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察、感知、分析直线与平面垂直的本质属性.在课堂上，也可以用一支笔垂直桌面，另一支笔放在桌面上，来演示两支笔所成的角度。

2、抽象概括，形成概念

师：我们发现旗杆与地面垂直，那么旗杆所在的直线就与地面上任意一条直线都垂直；你能发现直线与平面垂直的本质是什么吗？由此你能抽象概括出直线与平面垂直的定义吗？

生：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么，我们就说这条直线与平面垂直.

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作：⊥.

直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

用符号语言表示为：

【设计意图】：图形语言、文字语言、符号语言相互转化，在日常学习中要时常渗透，符号掌握精准。

3．简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”．

去过故宫的同学会注意到，故宫内有一处古代计时用具，我们称之为日晷。

设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生感受数学的应用价值，古代中国的文明，古人的伟大。提高学生学习数学的热情．同时，引出探究判定定理的必要性．

4、辨析定义，深化理解

师：我们用直线与直线的垂直刻画了直线与平面的垂直，而定义的内涵又是什么？

师生活动：教师引导学生利用三角板在桌面上进行操作——使三角板的一条直角边在桌面所在平面内，使另一条直角边与桌面所在平面不垂直，提出问题：

问题4：（1）三角板的斜边与桌面垂直吗？为什么？

（2）与桌面相交的直角边与桌面垂直吗？为什么？在桌面内能找到与该直角边垂直的直线吗？能找到多少条？

（3）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

【设计意图】学生错误的以为直线与平面内的一条直线垂直，就可以垂直平面，通过演示、观察以及对问题的思考加深对概念内涵及关键词的理解，有利于掌握概念的本质属性．

（三）探究直线与平面垂直的判定定理

1、类比猜想，提出问题

类比线面平行与面面平行的判定定理，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？

【设计意图】从学生已有的知识出发，进行分析，引导学生将“与平面内所有直线垂直”初步转化为“与平面内两条相交直线垂直”。

2、动手实验，分析探究

（折纸实验）请同学们拿出准备好的三角形纸片，我们一起做一个实验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（组织学生动手操作、探究、确认）

在折纸实验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.

学生再次折纸，通过观察、感知、确认折痕与桌面垂直的条件——折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直.

【设计意图】通过“动手操作”让学生充分展开思维活动，抽象概括折痕与桌面垂直的条件，为进一步的数学抽象准备.

问题6：当折痕AD与BC垂直时翻折纸片，纸片的形状发生了变化，那么从线与线的关系看，不变的是什么呢？如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

学生经过思考发现：纸片翻折后，直线BC变成两条相交直线BD和CD，但AD与BD、AD与CD垂直关系不变，进而抽象出直线与平面垂直的条件是直线与平面内两条相交直线都垂直.

【设计意图】使学生明确折痕与桌面垂直的数学内涵以及折纸结果所反映的数学本质.

问题7：如果将图3中的两条相交直线的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？

【设计意图】让学生认识到一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和这条直线垂直，至于这两条相交直线是否和这条直线有公共点，是无关紧要的.

3、提炼定理，深入认识

根据实验，请你给出直线与平面垂直的判定方法.

（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

用符号语言表示为：

教师指出：这样归纳得出的定理是需要证明的，只是本课我们未给出证明，在后续选修系列2中我们将用向量方法加以论证.

问题8：（1）与定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?

（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

【设计意图】通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.

（四）初步应用

例1判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）正方体中，棱和底面垂直．

（2）正三棱锥中，为棱的中点，则棱和平面垂直．

【设计意图】：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一问定理条件通过观察即可得到，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二问定理条件需要用平面几何的知识才能得到．

例2如图，是Rt△的斜边，过点作△所在平面的垂线，连、

．问：图中有多少个直角三角形？

【设计意图】：通过对△是直角三角形进行证明，意在培养学生熟练进行线线和线面之间垂直关系的转化，从而准确和灵活地应用判定定理和定义．

（五）总结反思，提高认识

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）通过本节课的学习你体会到了哪些数学思想方法？

一点思考：

空间向量的引入使立体几何的“味道”变淡了，对学生空间想象力的培养有了不小的冲击.本节课在强调概念的形成、发展过程中，可以尝试让学生在更多的几何体模型（如正方体）中感知线面垂直，加强对学生空间观念的培养，提升空间想象力.