浅谈应用几何画板进行圆中动点问题的教学

浅谈应用几何画板进行圆中动点问题的教学

汪洋

汪洋湖北省当阳市玉泉初级中学444100

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051（2019）07-046-02

近几年中考题中出现了一类与圆有关的动点问题，这类问题综合性强、题目灵活多变、难度较大，解答这类问题要求学生具有较强的分析问题和解决问题的能力，学生常感到困难甚至无从入手，本文结合自己教学介绍这类问题的求解策略，供同仁们学习参考。

1、挖掘教材试题、借用动点变形、在训练中形成知识系统是提高教学效率的基础。

对新人教版教材P88第5题变形：如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，其中A为圆上一个动点，E为CD延长线上一点。

（1）当A点运动使AB∥CD时，AB=6，CD=8，求AB与CD的距离，并证明AD=BC

分析：求AB与CD的距离应用圆的轴对称性质——垂径定律及其推论；证明AD=BC考察圆的旋转不变性——弧、弦、圆心角之间的关系定律。

（2）①若连接OA,OC，∠ABC=80°，则∠AOC=°，∠ADE=°

分析：考察圆周角定律和圆内接四边形性质定律。

②若连接AC,BD，当AC经过O点时，寻找相等圆周角有几组，等于90°的角是那几个？

分析：考察圆周角定律两个推论。

（3）比较O到点A,E距离的大小，说明理由。

分析：考察点与圆的位置关系

（4）连接AE，直线AE与⊙O的位置关系有几种，若∠EAD=∠ACD时直线AE与⊙O相切吗？说明理由。

分析：考察直线与圆的位置关系及其切线的有关定律。

通过几何图形在几何画板种简单变形，逐步引导在简单训练中归纳出圆的基本性质和点、直线与圆位置关系的有关知识。让学生在用中回忆，在回忆中归纳。

2、教师应用几何画板、让学生观察演示动画、寻找解题突破口是提高教学效率的重点

几何画板动态的演示数学知识的形成过程，能比较容易的突破教学中的重点、难点，也能增强教学的直观性并激发学生的学习兴趣。

如图，∠NCM=60°,A是射线CM上一点，且AC=6cm，E是线段AC上一动点，过E点作EB⊥AC交射线CN于B点，过A点作BC的垂线交BE于点F，垂足为D点。FG∥BC交直线AB于点G。

(1)若△ABC为锐角三角形，求线段AE的取值范围.

(2)以F为圆心作⊙F,使⊙F与BC相切，当点G在⊙F外且AC与⊙F相交时，求线段FG的长的取值范围.

分析：（1）当△ABC为锐角三角形时，线段AE的长度是一个变量，学生感到无从下手，这时要引导学生锐角三角形的临界值在哪里？——直角三角形；若△ABC为直角三角形，且∠NCM=60°，那么有几种情况？引导学生找到有两种情况：一种是∠ABC=90°，另一种是∠BAC=90°，在几何画板拖动E点找到这两种特殊情况的图形（如下图），应用相似的相关知识就可以求出线段AE的长，在非特殊中寻找到特殊就是寻找的突破口。

（2）以F为圆心作⊙F，有几种位置关系？当⊙F与BC相切告诉了我们什么？点G和⊙F的位置关系有几种？当点G在⊙F外时，我们应该怎样去思考？——考虑F在圆上特殊情况求线段FG的长。AC与⊙F有几种位置关系？当AC与⊙F相交时，我们应该怎样去思考？考虑相切特殊情况，求线段FG的长，在几何画板拖动E点找到这两种特殊情况的图形（如下图），应用相似的相关知识就可以求出线段FG的长，观察FG变化情况，来确定线段FG的长取值范围.

3、应用几何变换、进行变式训练，培养学生的思维能力是提高教学效率的关键

几何画板变换中平移、反射、旋转、缩放在解题中的运用，有利于开阔学生解题思路，沟通知识间的横向联系，培养学生的创新意识与创新能力。如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，在等腰直角三角形DCE中，∠DCE=90°，点D在线段AC上。

（1）如图1，若M是线段BE上的动点，N是线段AC的动点，连接ON、OM、MN：①若∠NOM=90°，探索线段ON与OM的数量关系，并证明你的结论；②若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，OM=1，求MN的值；

（2）如图2，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明，若不是，请说明理由。

分析：本题主要是考察“旋转”这一图形的变换。（1）①当∠N0M=90°时，通过连接OC很容易构造三角形全等，可以考察三线合一、等边对等角等知识点，难度中等；②此问顺第①问而来，若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，此时即可以用相似来证明，也可以用三角形的中位线来证，本题的难点在于观察出△BDC绕点C顺时针旋转90°可以得到△ACE，从而连接辅助线DB、AE，考察学生对旋转的观察能力和添加辅助线的技巧。

（2）延续前小题的思路，使整个试题坡度自然，重点考察旋转的思想。注重“旋转”和“动点”的考查，通过巧妙的设计使“点”的移动而引起图形的变化，但图形中基本关系不变；突出“探究”能力的考查，要求学生透过现象看本质，识别出“△BDC绕点C顺时针旋转90°可以得到△ACE”这个基本图形，加深学生对“旋转”图形的认知；在题目背景上，选择学生熟悉的“等腰三角形”、“圆”作为素材，学生入手容易；在问题设置上，由易到难，具有很强的区分度。

（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上.

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点.

①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是30°；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围。

分析：圆的综合题，本题主要是考察“平移”这一图形的变换。此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键.（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可。

利用几何画板巧妙地把几何元素集中到一起，构成新的图形，也同时可以做到化复杂为简洁，化不规则图形为规则图形，更加一目了然.这样可以省去多不必要的过程，少走几个弯路，而同样达到解题的目的。几何问题往往是巧妙的，只要我们善于发现它的规律和特殊性，将图形稍做改变，往往会产生意想不到的效果。因此在做题时我们也应该细心观察图形，抓住一些重要的条件，从而考虑怎样让图形的转换更为简洁一些。