李娟(济南第三职业中专,山东济南250001)
一、教材
1.教材的地位和作用
学生在初中已经学习了简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念,有助于学生建构完整的知识结构。教材把幂函数安排在指、对函数之后,在学习与探究过程中可体现类比的学习方法,使学生进一步体会并理解研究基本初等函数的一般思路。
2.教学目标
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:
(1)知识目标:①了解幂函数的概念,会画幂函数的图象;②会用幂函数的图象和性质解决问题。
(2)能力目标:使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法。
(3)情感态度与价值观:通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程,培养学生的探索精神,并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点。
3.教学重点与难点
重点:幂函数的概念、图象和性质。难点:将函数图象的直观特点上升到理性认识,归纳、概括函数的性质。
二、教法
1.学生的学情介绍
学生初中学习了三个具体的幂函数,并且会用列表—描点—连线法作图,对图象有一定的感性认识。学生会求三个具体幂函数的定义域及单调区间。掌握了指、对函数,了解了研究函数的一般思路与方法。
2.教学方法
根据学情,笔者重点采取“任务教学法”,辅以启发式和讨论式教学法。所谓任务式教学法,是教师把教学内容设计成一个或几个具体任务,让学生完成一个个具体任务,掌握教学内容,达到教学目标。
三、学法
结合本节课的特点和学生学情,决定指导学生采取以下学法:(1)兴趣学习法;(2)小组合作学习法;(3)探索归纳学习法;(4)建构学习法。
四、教学过程
(一)教学任务
首先向学生展示本节课的主要任务:
任务1:总结幂函数的定义。
任务2:总结五个基本幂函数的图象与性质。
任务3:总结幂函数的图象与应用。
任务4:应用幂函数的定义、图象与性质。
教学任务最终要达到理解幂函数的定义、应用图象与性质解题的目的。
任务1
总结幂函数的定义,设置了如下两个分任务:
分任务1:求函数解析式。
分任务2:总结共同特征。
因为这几个问题来源于实际生活,学生比较感兴趣,而且学生前面已经会求函数的解析式了,故把这个任务交给学生完成,然后教师订正答案,让学生小组合作交流它们的共同特征,由此得到幂函数的定义。在这个过程中培养了学生的观察、归纳和概括能力。紧接着设置了两个练习题:
1.你能根据幂函数的定义判断下列函数是否是幂函数吗?
2.若幂函数的图象过点,则解析式为__________
第一题(5)设置的原因是学生容易混淆指数函数与幂函数,直接提出这个问题,学生可能印象不深刻,在这儿以题带点,帮助学生加深对幂函数定义的理解。
任务2
总结基本幂函数的图象与性质,设置了如下两个分任务:
分任务1:画五个具体幂函数图象。因为初中时学生就学习了用列表—描点—连线的方法画图,故在这里让学生试着完成,并且能通过作图训练学生的动手实践能力,为下面的学习提供丰富的直观材料。接着教师借助几何画板展示,一是给学生订正答案,二是使学生体会到现代技术在数学认知过程中的作用。
分任务2:总结五个具体幂函数性质。教师在黑板上给出表格。
让学生根据多媒体大屏幕上的图象小组交流以下两个方面:(1)表格第一列填什么内容,主要是启发学生用类比的方法研究函数(2)表格的其它内容怎么填,让学生回顾前面学过的求函数的定义域、值域;判断函数奇偶性的方法,及时巩固旧知。
填完之后提问:这五个函数的性质有哪些共同点?小组交流,教师引导学生总结定义域、单调性方面的共同点,为接下来探索归纳幂函数性质做准备。
任务3
总结幂函数图象与性质,是本节课的难点,突破难点主要借助了几何画板这一现代技术。
这个阶段教师首先设置好几何画板,给学生演示y=xa当a取不同的值时图象的变化过程,引导学生重点观察第一象限的图象,紧接着在屏幕上展示出a>0,a<0两类幂函数的静态图象,小组交流这些图象有何规律?教师给出几个分任务:
分任务1:画出幂函数在第一象限的草图。
分任务2:应该重点研究函数的哪些性质?
分任务3:a>0,a<0时函数性质有何不同?
分任务4:当幂指数为正偶数、正奇数时函数具有哪些重要的性质?
在这儿,让学生充分交流与合作,完成这四个任务,培养学生自主探索、合作学习的习惯。由于是开放性问题,所以答案不唯一,可有效训练学生的发散思维能力。但是发散后要及时收回,引导学生归纳出幂函数在第一象限的图象及幂函数性质。同时培养学生的看图、析图能力及归纳概括能力,并且建构出研究函数的一般方法。
任务4
举例应用幂函数的定义、图象与性质。
例1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x)为:(1)幂函数;(2)一次函数;(3)反比例函数;(4)二次函数?该题设计意图:这个例题第1小题主要是让学生进一步理解幂函数的定义,继续强化系数为1。接下来第2、3、4小题,可以提问学生正比例、反比例、二次函数都是幂函数吗?让学生会区分幂函数与其他函数。
该题难点突破:幂函数定义。
例2(1)讨论函数f(x)=x23的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的增减性;(2)点(姨2,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,14)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,f(x)=g(x);f(x)>g(x);f(x)<g(x)?
该题设计意图:本题设计了两个小题,第一题是课本例题,先让学生求函数的定义域、判断函数的奇偶性,层层递进,引导学生画出函数图象。讲完这个题之后,可以总结一下作幂函数图象的一般方法,首先根据“正抛物,负双曲;大竖立,小平铺”的口诀,画出第一象限的草图,接着求函数的定义域和判断奇偶性,近而做出整个函数的草图,掌握了这一知识点在解决数形结合问题时很有效。第二题是第一题的变式延伸,达到了举一反三的效果。
该题难点突破:待定系数法、数形结合。
例3(1)比较下列两个代数式值的大小
试比较a、b、c的大小关系。
该题设计意图:因为学生直接完成第二题有困难,故设置第一小题,分解难点,先让学生想到要通过构造函数解决问题,进而再选择函数模型,主要是培养学生构造幂函数和指数函数模型的能力,并利用单调性分析问题、解决问题。该题难点突破:选择函数模型。
(二)练习任务
根据学情分层教学,设置了基础训练题组。
1.在函数y=1x3,y=3x2,y=x2-x,y=x0中,幂函数的个数为。
2.幂函数f(x)的图象过点(2,14),则f(x)解析式为。
3.若幂函数f(x)=xm-1在(0,+∞)上是减函数,则m的取值范围为。
4.在下列函数:①y=x35;②y=x32;③y=x-13;④y=x-2;⑤y=x2中,定义域为R的函数有个.
针对成绩好的学生,设能力提升题组。
1.如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,姨22),则f(4)的值等于.
2.当x∈(1,+∞)时,函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是.
3.函数y=xa2-4a-9是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数a的值是。
4.已知整数m满足-3≤m≤3,幂函数y=xm的图象与x轴、y轴都无公共点,且关于y轴对称,则m=.为了拉近与高考距离,设感受高考题组。
(2008年)1.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为.(2011年)2.函数y=x13的图象是()
使学生能巩固并自觉运用所学知识与解题思想方法,将所学知识提升到高考的高度。
(三)小结
先找一名学生小结本节课的知识,找其他同学补充,最后在教师的引导完成。使学生逐步让成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力。
五、检测
为了更好地落实本节课的内容,还设计了课后小测反馈学情,以便及时发现学生存在的其他问题,利于下一步改进。总之,我们要想尽一切可行的方法帮助我们的学生变成展翅翱翔的雄鹰。