以“一题多变与一题多解”为载体培养学生优秀的思维品质

以“一题多变与一题多解”为载体培养学生优秀的思维品质

赵建霞

卢氏县实验中学赵建霞

设计一题多变和一题多解的训练,是我国中学数学教育的优良传统。发展学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，是教学的根本任务。所谓一题多变,是指在保持问题实质不变的情况下,通过变式改变问题的条件或问题的结论,把一个问题化为梯度渐次上升的一个问题系列。而一题多解，则是在学生认真审题的基础上，从不同角度、不同侧面去寻求同一题的多种解题方法，而且在学生解题后要让他们进一步思考解法特征与解题关键，并对不同的解法加以比较区别优劣。在教学中设计一题多变和一题多解有助于学生创造性思维能力的培养,开发学生的创造力。

一、一题多变，积极思维，培养思维的灵活性

在初中数学教学中，选择教材中的典型题，恰当的进行一题多变的教学，可使学生处在一种愉快的探索知识的过程中，可使学生所学知识纵向加深，横向沟通，从而充分调动学生的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

例：求证顺次连结四边形各边中点所得四边形是平行四边形。

变式：如果改为特殊四边形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形时，顺次连结它们各边的中点，将是什么四边形？如何证明？从推理过程中你发现原四边形的对角线的关系是怎样决定中点四边形的图形呢？

在学完八年级（下）《用推理方法研究四边形——中位线》这节之后，设计安排上述变式的题目，让学生研讨、思考，显然颇有益处，既可以把若干知识点串联起来，达到巩固所学知识的目的，又可以培养学生的猜想能力，有效地促进创造思维的形成与发展。

二、引入开放题,提高学生分析,解决问题的能力，培养思维的发散性、创新性。

开放题分为条件开放题,策略开放题,结论开放题.开放题具有一些特性:非完备性、不确定性、发散性、探究性、发展性、创新性。

例如：已知，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）

思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：1.OA=OD；2.BE=CE；3.AB=AC；4.BD=CD.

思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论：1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED=∠ABD=∠ACD=Rt∠；2.∠ABC=∠ACB；3.∠DBC=∠DCB；4.∠BAD=∠CAD；5.∠BDA=∠CDA；6.∠BAD=∠BCD；

思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：1.弧AB=弧AC；2.弧BD=弧CD；3.弧ABD=弧ACD；4.弧ABC=弧ACB；5.弧BAD=弧DAC.

思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：1.△AEB≌△AEC；2.△BED≌△CED；3.△ABD≌△ACD.

思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD，即图中所有的直角三角形两两相似。

三、在一题多解中发展学生的思维能力

为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力，教学中适当精选一些一题多解的典型题目，尽可能的引导学生进行多向思维，把所学的各方面知识有机的联系起来，既能有效巩固基础知识，又能提高学生的思维能力和创新能力。

如：证明如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，在△ABC中，AD=BD=CD．

求证：△ABC是直角三角形．

证法1如图1，利用两锐角互余．

∵AD=CD，CD=BD，

∴∠1=∠A，∠2=∠B。

在△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，

∴2（∠A+∠B）=180°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法2：利用等腰三角形的三线合一．可延长AC到E使CE=AC，连接BE．

证法3：利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．可过点D作DE⊥BC交BC于点E．

∴CD=BD，

∴，

∴，

∵∠B是公共角，

∴△BDE∽△BAC。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC是直角三角形。

证法4：利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．可取BC中点E，连接DE．

证法5：构造四边形，并证其为矩形．可延长CD到E使DE=CD，连接AE、BE．

∵AD=BD=CD．

∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE．

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．

总之，在教学中,坚持对学生进行一题多解和一题多变的训练,不仅可以提高学生解题的技能技巧,认识知识之间的联系与区别,而且还可以培养学生深入钻研问题的精神,激发他们强烈的求知欲望。可加深学生对所学知识的深刻理解，可训练学生对数学思想和数学方法的运用，必将促进学生对数学知识的掌握和数学能力的提高，也就起到了提高课堂教学效率的作用。