用转化思想提高数学解题能力

用转化思想提高数学解题能力

王令

◆王令山东省济南市平阴县栾湾中学250400

摘要：数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题、把抽象问题转化为具体问题、把复杂问题转化为简单问题、把一般问题转化为特殊问题、把高次问题转化为低次问题、把未知条件转化为已知条件、把一个综合问题转化为几个基本问题。因此学生要学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。

关键词：数学转化思想数学问题

今年我教初三毕业班数学，到了复习阶段，做了这么多题目，了解了常见的转化思想类型和转化思想方法，对转化思想有了更深的了解。下面结合自己多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。

一、“数”与“形”的相互转化

在初中阶段，当教学内容由以“数”为主要研究对象的内容转变到以“形”为主要研究对象的内容时，由于其角度、特点以及抽象程度都有显著的变化，学生不能很快适应，会形成由代数到几何的过渡，这就形成了学习初中数学的第一大难关。由此，教师应努力探索，引导学生通过“数”与“形”的相互转化，探索出一条合理而乘势的解题途径，解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学能力。如利用直角坐标系来使几何问题用代数方法解决，也可以通过图形将复杂或抽象的数量关系直观形象地翻译出来。

例：(2009广东肇庆中考)如图,已知一次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象相交于点A(1,3)。观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量的取值范围。

分析：要写出函数值y1＞y2的自变量的取值范围（若转化为解分式不等式，则超出了初中数学知识范围），本题可通过把形转化为数来解决，即通过观察图象可知：“所谓函数值y1＞y2，在平面直角坐标系中就是直线在双曲线上方的部分，此时自变量x的取值范围为-3＜x＜0或x＞1。”

二、将生疏问题向熟悉问题转化

数学题目成千上万，我们不可能全部做遍，但我们可以通过一定量的练习，掌握它们的解法，就拥有了会解大量数学题的能力。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，这种能力的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。

因此作为教师，应深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度利用学过的知识加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半功倍的效果。例如在学习解一元一次方程后，学习解二元一次方程组和解一元二次方程，师生可共同探究得到：解二元一次方程组，就是通过加减消元或代入消元的方法将二元一次转化为一元一次方程，该转化称为“消元”；解一元二次方程，就是通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，该转化称为“降次”。学生只要理解、掌握了解一元一次方程和因式分解方法，解二元一次方程组和解一元二次方程就容易理解和掌握了。

三、将实际问题向数学问题转化

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点。新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进，理论联系实际是编写教材的重要原则之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题的过程中提高分析问题和解决问题的能力。例：（2010山东青岛市中考题）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价销×售量）

分析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润”的问题，也就是把实际问题转化二次函数的极值问题。即“每月利润=每件产品利润×销售产品件数”，得w=(x-20)·y=（x-20）·(-10x+500)，通过整理转化为二次函数w=-10x2+700x-10000，可知当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。

（2）要解决售价、获利在一定范围内的所需成本最低这一实际问题，则需将本题联系一次函数、二次函数有关性质来完成。∵二次函数w=-10x2+700x-10000，a=-10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000；又∵销售单价不得高于32元，∴当30≤x≤32时，w≥2000。设成本为P（元），由题意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函数性质，k=-200＜0时，P随x的增大而减小。∵30≤x≤32，∴x=32时，P最小＝3600。要实现销售单价不得高于32元，每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。

联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识，增强用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。进入现代，应用问题在中考中的地位已经确立，并且越来越重要。在解决实际问题时，要重在分析的关系，培养学生应用数学的能力。

总之，数学中的“转化”思想是我们学习数学和解题的一种重要思想，作为教师的我们应该抛弃“题海战”的教学模式，加强培养学生的这一能力，提高学生学习数学的兴趣。