浅谈求数列的通项公式

浅谈求数列的通项公式

李金娥

【关键词】数列；通项公式；求法；

在自然界和日常生活中，我们经常遇到按照一定次序排成的一列数即数列。然而对于一个数列，特别是无穷数列，通项公式对于把握这个数列的结构是关键的。通项公式给出了数列{an}中第n项an与项数n之间的函数关系，掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣。下面谈谈求数列通项公式常用的几种方法。

1.观察法

示例1、写出数列的一个通项公式，使之符合所给前几项。

(1)、8,8,8,8,8,…(2)、5,9,17,33,65,…(3)、35,48,511,614，…

分析：解答本题的关键是从已有的前几项中，通过观察、变形发现项数n与各项an之间的共同规律，进而写出一个通项公式。在(1)中,各项都等于8，是个常数列，所以an＝8；在(2)中，各项减1后，数列变为4,8,16,32,64，…即{2n+1};所以an＝2n+1+1；在(3)中数列可写成……于是分子依次为3,4,5,6…故分子的通项为n+2;分母依次为5,8,11,14,…故分母的通项为3n+2，所以an=n+23n+2.

注意：①运用观察法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律。通常需要经过结构变形，如加(减)某数、拆分(和、差、积)项等分离出变量和不变量，直到发现规律。②熟记一些常见数列，如{(-1)n}、{n}、{n2}、{2n-1}、{2n}、{2n}、{(-1)n}等。③数列不一定都有通项公式，而且如果有，也不一定惟一。

2.公式法

此法常用于已知数列类型的题目（如等差数列、等比数列等）。

示例2、（1）在等差数列{an}中，已知a4=3,d=5,求an。（2）在等比数列{an}中，已知a2=32,q=4,求an。

分析：(1)等差数列利用公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d求；等比数列利用an=a1qn-1或an=amqn-m求;(2)注意方程思想的运用。

解：（1）因为a4=3,d=5，利用公式an=am+(n-m)d中m=4，d=5得，an=a4+(n-4)×5=3+（n-4）×5=5n-17，所以an=5n-17。（2）因为a=32,q=4，利用公式an=amqn-m中m=2，q=4得，an=a2qn-2=32×4n-2=2×4n=22n+1，所以an=22n+1。

3.利用an与Sn的关系求an

示例3已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n+2,求数列的通项公式an

解：当n=1时，a1=S1=3+4+2=9;

当n≥2时，an＝Sn-Sn-1=(3n2+4n+2)-［3(n-1)2+4(n-1)+2］=6n+1;

所以a1=9，an=6n+1(n≥2)。

示例4、已知数列{an}的前n项和Sn，满足log2(2+Sn)=n+3,求数列的通项公式an。

解：因为数列{an}的前n项和Sn，满足log2(2+Sn)=n+3,所以2+Sn＝2n+3，即Sn＝2n+3-2；

当n=1时，a1=S1=16-2＝14；

当n≥2时，an＝(2n+3-2)-(2n+2-2)=2n+3-2n+2=2n+2;

所以a1=14，an=2n+2(n≥2)。

注意：解决此类问题时，要注意分类讨论，同时也应考虑结论对题目本身有意义。

4.构造法

示例5、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an-1,求数列的通项公式an。

解：∵an+1=an-1①,∴设an+1-m=2(an-m),整理后得，an+1=2an-m②，比较①式与②式便可得m=1，即有等式an+1-1=2(an-1);从而可构造数列{bn},使bn＝an-1，则b1=a1-1=-1,bn+1=2bn;∴，即数列{bn}是等比数列，公比q=2，首项b1=1。∴bn＝2n-1，∴an＝1+bn＝2n-1+1。

注意：与本题类似，如果已知数列{an}中的a1以及an+1与an的递推关系，常用这种方法解。

示例6、已知数列{an}的递归公式为,an+2=(2an+1-an),，且a1=0，a2=1，写出这个数列的通项公式an。

分析：将an+2=(2an+1-an)的两边同减去an+1则有an+2-an+1=(2an+1-an)-an+1，固an+2-an+1＝(an+1-an)，仿上例解法设bn=an+1-an(n=1,2,3,…),从而构造出新数列，然后做进一步解答。

解：∵an+2=(2an+1-an)

∴an+2-an+1=(2an+1-an)-an+1固an+2-an+1＝(an+1-an)令bn＝an+1-an则数列{bn}是等比数列，公比q=1，首项b1=1∴bn＝1∴an=an—an-1+an-1—an-2+an-2-an-3+…+a2-a1=bn+bn-1+bn-2+…+b1=n。

注意：构造法一般采用“整体代换思想”、“等价转换思想”等，进一步构造出简单易解的新数列。（作者单位：河北省迁西县第二中学）