浅析高等数学不定积分及其应用简单归类

浅析高等数学不定积分及其应用简单归类

孟祥龙

孟祥龙

（哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业08级，黑龙江哈尔滨150000）

摘要：本文主要对不定积分的性质和应用进行研究，归纳了几种求解不定积分的方法，能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不同形式的不定积分问题很有帮助，能够灵活应用拓宽思路，有效的求解不定积分。

关键词：不定积分的定义；不定积分的应用；归类

在很早以前，微分和积分被作为两类不同的数学问题，不同的数学运算，分别加以研究的。但随着欧洲科学技术的迅猛发展，生产力的不断提高和社会科学领域等方面的迫切需要，经各个国家科学家的努力与历史的丰富积累，微积分理论在函数与极限概念基础上应运而生了。牛顿从物理方向，莱布尼茨从哲学方向把积分和微分真正意义的沟通起来，确定了两者之间内在的直接关系：微分和积分运算是互逆的，从而创立了现在的微积分。

1不定积分定义

涉及到不定积分，我们先要从原函数的定义出发，然后得出不定积分的定义，明白两者的关系很重要。

1.1原函数的定义。如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x），即对于任何一个x∈I都有F'（x）=f（x）或dF（x）=F（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I上的一个原函数。

因为常数C的导数为0，所以当函数F（x）是f（x）在区间I上一个原函数时，[F（x）+C]'=f（x），因此可以得出，f（x）在区间I上的原函数不是唯一存在的，而有无穷多的原函数。要注意到原函数是一个与区间相关的概念。

1.2不定积分的定义。若F（x）是f（x）在某区间I上的一个原函数，则f（x）的全体原函数F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）在该区间上的不定积分，记为f（x）dx，即f（x）dx=F（x）+C。

换句话说：要求出不定积分，只需要求出被积函数的一个原函数，然后加上积分常数就行。

从原函数和不定积分的定义可以得出积分运算与微分运算之间是互逆关系，如果要检验积分的结果是否正确，只要把积分结果进行求导，看其导数是否等于被积的函数就可以了。

2不定积分应用的简单归类

不定积分是高等数学中积分学的基础，对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到高等数学的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法，不但能使我们进一步巩固前面所学的导数与微分的知识，而且也将为学习定积分，微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中，函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化，从有限到无限，从确定到不确定，计算结果也可能不唯一，但计算方法与计算技巧显得更加重要。对不定积分的求解方法进行简单的归类，不但使其计算方法条理清楚，而且有助于对不定积分概念的理解，对学好积分具有一定的促进作用。

2.1直接积分法。直接积分法是求不定积分的基本方法，是基本途径，也是其他积分方法的基础，这一方法是直接利用积分法则和公式得出结果，或将被积函数做恒等变形，使之符合基本法与公式，然后再利用积分法则与公式作出结果。

注：在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数的代数和仍为任意常数，故只需在最后一个积分符号消失的同时，加上一个积分常数就可以了。

2.2第一换元积分法（凑微分法）。求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题，解决这类问题的方法多种多样，其中有一种方法就是第一换元法，换元法是求不定积分的基本方法。例如求■x2exdx分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。

有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分法，只要能给它凑成基本公式的形式，分部积分法就可用。一般，形如■xkexdx的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例题类似。

计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。

注：第二换元积分法的换元表达式中，新变量t处于自变量的地位，而在第一换元积分法的换元表达式中，新变量则处于因变量的地位。此外，在使用第二换元积分法时，为保证x=Ψ（t）的反函数确实存在及原来的积分有意义，通常要求x=Ψ（t）是单调函数、有连续导数且Ψ'（t）≠0。

2.4分部积分法。微积分中对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部分进行积分，其原理是复合函数求导的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别带指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分次序。具体操作如：被积函数由幂函数和三角正弦组成则按口诀先积三角函数。分部积分也是求不定积分的基本方法：

从以上解法可以看出求解积分时，不论采用什么思路、选用什么积分方法，最终还是归结应用基本积分公式求出结果。因此在学习积分内容时，首先要熟悉基本积分公式和常见的积分法，更为重要的是要根据已给积分的被积函数形式，善于应用相关变形方法转化为基本积分公式类型处理。所以我们在今后的学习中，要灵活运用上述方法。