“导数”在不等式证明中的运用

“导数”在不等式证明中的运用

胡长好

◆胡长好云南省宣威市第八中学655400

导数是近几年高中教材中新增加的一个新的教学内容，是许多传统教材所排斥的课题。其实作为教材的修订、增减自有教育专家的道理。就我自身的教学实践而言，对于导数我认为它的引入，是高中数学学习的一次革命性实践，特别在函数与不等式的学习中，它成了必不少的锐利武器。

在此，我就不等式的证明谈一下导数的妙用。“不等式”一章的学习是中学数学中的重点，但在学习中，不等式的证明是一个难点，也是我们绕道而行的地方。如今引入了“导数”，不等式的证明便迎刃而解了。

一、化不等式为f（x）>0（或f（x）<0）型的证明

例1、证明当x>1时，不等式2x>3-成立：

分析：欲证2x>3-,只要证明2x-3+>0。

设f（x）=2x-3+,则把证明原不等式的问题转化为证明函数在区间（1，+∞）内大于零的问题。

证明：设f（x）=2x-3+。

当x>1时，f’（x）=->0，所以f（x）是增函数。

又f（I）=0，因此，2x-3+>0，即2x>3-。

说明：化原不等式为f（x）>形式证明，是利用导数证明不等式时常采用的一种形式。从上例的证明不难看出，采用这种形式证明不等式的主要步骤是：（1）利用导数性质判别f（x）在给定区间内的单调性，（2）为保证f（x）>0，考查单调函数f（x）与左端点处函数值f（a）（或右端点处函数值f（b））的大小关系，这两条在证明时是缺一不可的。一般地，若f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，当f’（x）>0且f（a）=0或f’（x）<0且f（b）=0时，则对于一切x∈［a,b］可得f（x）>0。

二、化不等式为f（x）>m（或f（x）<m,m≠0）型的证明

某些不等式化为f（x）>m的形式也可以得到证明，其步骤与前面类似。

例2、证明当0<x<时，不等式x<sinx成立。

证明：令f（x）=，则f’（x）=，为了确定分子符号，再令g（x）=x·cosx-sinx。

∴当0<x<时，g’（x）=-x·sinx<0∴g（x）为减函数，又g（0）=0，故g（x）<0。

f’（x）<0，f（x）为减函数；

∵f（）=∴f（x）=，即>∴x<sinx

说明：本题若采用例1的形式证明，设f（x）=-，也可以很快得到证明；但若设f（x）=sinx-x，则f’（x）的符号不固定，这样显然较麻烦。

三、化原不等式为f（x1）<f（x2）（或f（x1）>f（x2））型的证明

例3、求证：如果0<x1<x2<，那么>。

分析：欲证>，只要证<，也就是证明函数f（x）=在区间（0，）内是增函数，即可。

事实上f’（x）=，当x∈［0，］时，∵x>sinx>sinx·cosx。

∴x-sinx·cosx>0，即f’（x）>0。

于是f（x）=在（0，）上为增函数，从而命题得证。

说明：例3的证明启发我们，像这种类型的不等式在结束条件下，如能将原式化为形如f（x1）<f（x2）或f（x1）>f（x2））的形式，只需证明函数f（x）在给定区间的单调性即可，这里的关键是恰当地选择函数f（x），这需要有一定的变换技巧。