剖析“日历中的方程”

剖析“日历中的方程”

贺双一

新课标数学教学有感

贺双一

摘要：本文从“日历中的方程”出发，笔者结合自己的教学经验，探讨了在日历中存在的数学规律。

关键词：新课标数学；“日历中的方程”；数学规律；学生兴趣

带着一种复杂的心态,笔者把初中北师大版新教材教了两轮。说实话，在知识系统性衔接或概念的完整性等方面，新教材还是有必要进行调整和完善的。但在接近生活和培养学生的应用意识等方面要比传统教材要丰富多彩，特别是给学生和教师的思维空间更大。即对教师的要求更高。特别是七年级数学上册“日历中的方程”这一节编得很精彩。因此，笔者在这里准备浅要谈谈自己在这一节中发现的精彩之处。

一、问题的设置真切可见

教材是学生学习的对象，一张张小小的日历从颜色或设计来看真是精致有别，以这些素材为原型进行问题设置，非常贴近学生的生活实际，这样可以使学生的学习热情高涨，即使是后进生在这时也会陶醉在激烈的数学讨论之中。在这个平台上，可以使学生自然而然地进入表演角色。为此，笔者怎不为这种真切可见的问题设置而赞叹！

二、问题的设置有规律可循

对于一年一月的一张日历来说，排列最多5行，7列，最少的4行。在这张日历中，笔者发现隐含着许许多多的规律。

1.按排列：n×n

(1)2×2

①四个数之和是4的倍数，若设最小数为a，则四个数之和为4(a+4)。

②对角线的两数之和相等都等于2(a+4)。

(2)3×3

①九个数之和是9的倍数，若设最小数为a，则九个数之和为9(a+8)。

②关于中心对称，若设最小数为a，四对对称数之和都等于2(a+8)。

③设中间数为b，九个数之和为9b。

(3)4×4

①十六个数之和是16的倍数，设最小数为a，16个数之和为16(a+12)。

②中心对称，每对称的两个数之和为2(a+12)，共8对。

2.解的情况

(1)整数解

①按1×7行

设中间数x，其余数为X—1，X—2，X—3，X，X+1，X+2，X+3，已知7天之和可求出星期一至星期日的号数。

②按1×4竖列，设最小数是X，则其余三天为X+7，X+14，X+21，知其和，同样可求出星期几是几号。

(2)存在性思路清晰

①方程的解是正整数解，否则不存在

例1：能在日历上圈出竖列中相邻的3个数，使得它们的和是40吗？

解：设中间数为X，则其余两天为X－7，X＋7，根据题意得，X－7+X+X+7=40，X=40/3≠正整数，所以不存在，使它们的和为40的竖列中相邻的3个数。

②方程的日期是大于1但小于31(除2月份)

例2：在某月的日历中，一个竖列上相邻的三个数你能圈出它们的和为75吗?

解：设中间的数为X，则其余两数为X－7，X＋7，由题意可得，3X=75，X=25，

X＋7=25＋7=32不存在数列相邻3个数之和等于75。

例3：你能在日历中圈出一竖列上相等的3个数，使得它们的和是15吗？

解：设中间的数为X，相邻数为X－7，X＋7，

根据题意得，X－7＋X＋X＋7=15，X=5，X－7=－2＜1所以不符合实际，所以圈不出竖列相邻3个数之和等于15。

三、问题的设置空间扩展性大

日历中的方程除了趣味性和知识性融合得当之外，还能让学生结合新的问题情境，学会把实际问题转化为数学问题，同时利用基本知识方法进行适当的延伸和扩展。

1.根据日历中问题的基本规律，迁移解决问题

例1：如图是2003年1月份日历，用一个长方形的方框圈出任意3×3个数

星期日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

1

2

3

4

6

7

8

9

10

11

13

14

15

16

17

18

20

21

22

23

24

25

27

28

29

30

31

B

C

D

E

F

G

H

I

，在这个日期中，最后一天是号。

(2)在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为162”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号，如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，并推测出这9个数中最后一天是星期几？（选自南京2002年期末调研卷第30题）

第一问：解法1，由A+B+C+D+E+F+G+H+I=3(B+E+H)=3×45=135，故这9个数的和是135，135&pide;9=15，所以最后一天23号。

解法2，设中间数为X，则C=(X－7)＋1=X－6，G=(X＋7)－1=X＋6

由C＋E＋G=45，得3X=45，解得，X=15

∴A=7B=8C=9D=14E=15F=16G=21H=22I=23。

因此这9个数的和为135，在这9个数日期中，最后一天是23号

第二问：设中间数为X，根据题意得，9X=162，解得，X=18。

观察2003年月1月的日历可知，18号在本月日历中位于最后一列，不符合方框圈出任意3×3个数的基本规律，所以不能圈出。

通过2003年1月的日历可知2003年2月第一天为星期六，按照日历编排规律推出2003年2月份的日历如下：

星期日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

1

3

4

5

6

7

8

10

11

12

13

14

15

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18

19

20

21

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26

27

28

2.日历中的方程的拓广

以日历中方程的规律拓广为其它数列，让学生结合新的情况把复杂问题转化为数学问题，从而培养学生推理和解决问题的能力。

例如：2004年湖北黄冈市初中升学考试20题

(1)在2004年6月的日历中（见下图）任意圈出一竖列上相邻三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是。

星期日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

12

14

15

16

17

18

19

21

22

23

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25

26

28

29

30

①图中框出的这16个数的和是。

②在上图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2004，是否可以求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

36373839404142

解：(1)三个数为a－7，a，a＋7

(2)①经过观察不难发现在这个方框中里的每个关于中心对称数的和为44，

如：31与13，11与33，10与34………

∴它们的和为44×8=352。

②设最小数为a，则这个正方形中的16个数，关于中心对称的两个数之和为

2a＋24，16个数为16a＋192。

设：16a＋192=2000

∴a=113。

∴最小数为113，最大数为113＋24=137。

设：16a＋192=2004

∴a=113.25a为正整数，所以它们的和不能为2004。

总之，选用日历中的问题作为解决问题，笔者是想通过日历中的知识方法规律来解决实际问题，同时也给学生提供了基本问题研究的平台。因此，我们应当在教学中注重培养学生善于发现实际生活中有关数学知识的规律，从而提高学生发现问题，探究问题的习惯，进而使其更好地学好数学。

作者单位：陕西省西安市航空六一八中学

邮政编码：710054