使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

崔家瑞

东北育才学校辽宁沈阳110000

摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra软件给数学学习带来的便利。最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。

关键词：GeoGebra多面体

1.GeoGebra软件简介

GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图形的颜色、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式，直接画出所需要的图形。因此，GeoGebra既可以处理变化的量（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，求解方程等）。由此可见，GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。

下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。

图1.1

如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜色等；菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域，在视图中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等）。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1

2.多面体图形简介

2.1多面体图形的基本性质

多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质：

i.一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、六面体

等。

ii.欧拉公式：定点数+面数-棱数=2。

2.2多面体图形的类型

多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。

图2.1多面体图形

2.2.1正多面体

正多面体又称柏拉图体（PlatonicSolids），指多面体的各个面都是全等的正多边形。共有五种：正四面体（Tetrahedron）、正六面体或正方体（Hexahedron或Cube）、正八面体（Octahedron）、正十二面体（Dodecahedron）、正二十面体（Icosahedron）。

2.2.2阿基米德多面体

阿基米德多面体（ArchimedeanSolids）又称半正多面体，是指由一种或多种正多边

形面组成，而又不属于正多面体的凸多边形，要求每个顶点的组态均一致，且不包含柱体族（Prism）和反柱体族（Antiprism）。2

阿基米德多面体共有十三种：

i.截角多面体：截顶四面体（Truncatedtetrahedron）、截顶六面体（Truncatedcube）、截顶八面体（Truncatedoctahedron）、截顶十二面体（Truncateddodecahedron）、截顶二十面体（Truncatedicosahedron）。

ii.截半多面体：截半正方体（Cuboctahedron）、截半十二面体（Icosidodecahedron）

iii.斜方截半多面体：小斜方截半立方体（Rhombicuboctahedron）、大斜方截半立方体（Truncatedcuboctahedron）、大斜方截半十二面体（Truncatedicosidodecahedron）、小斜方截半十二面体（Rhombicosidodecahedron）。

iv.扭棱多面体：扭棱正方体（Snubhexahedronccw）、扭棱十二面体（Snubdodecahedronccw）

2.2.3开普勒－庞索多面体

正多边形的边延长直到它们再度相交，便可得到一个星状多边形，比如将正五边形的

边延长直至再度相交，就可以得到五角星，将正八边形的边延长直至再度相交，就可以得到八角星，将正十边形的边延长直至再度相交，就可以得到十角星。

上述过程即为平面上的“星化程序（Stellation）”。若把此程序立体化将正十二面

体和正二十面体适当地星状化，即可得到四个“星状多面体”，即开普勒－庞索多面体（Kepler-PoinsotSolid）。

开普勒－庞索多面体共有四种：小星状十二面体（Smallstellated

Dodecahedron）、大星状十二面体（GreatstellatedDodecahedron）、大十二面体（GreatDodecahedron）、大二十面体（GreatIcosahedron）。

2.2.4柱体与反柱体

柱体族（Prism）和反柱体族（Antiprism）被踢出了阿基米德多面体的家族。柱体族

和反柱体族是两类最基础的半正多面体，由两个正多边形和一圈正方形或三角形组成。这两类多面体各有无数种。

2.2.5其它多面体及其知名应用

2.2.5.1菱形六十面体

菱形六十面体（RhombicHexecontahedron）是worlframalpha.com的LOGO，

以其独特的数学气息而闻名于多面体世界中。

2.2.5.2Spikey多面体

Spikey多面体图形是Mathematica的LOGO。Mathematica是一款科学计算软

件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。作为全世界应用最广泛的数学软件，Mathematica的logo也同样充满着数学气息。

2.2.5.3彩球二十面体

彩球二十面体是圆部式组合（ColorBox）折纸的产物，圆部式组合由日本的圆部光伸首次提出，从组成来看，彩球二十面体由一个正二十面体和二十个正三棱锥组成。正二十面体的每个面上都“长”出了一个正三棱锥，便是彩球二十面体的结构了。在现实生活中，彩球二十面体是一种极具装饰性的多面体，用绳带挂起来可作为节日的饰物。

3.使用GeoGebra软件构造基本多面体图形

这部分，主要根据多面体图形边、棱、面的关系，介绍用GeoGebra软件实现日常简单多面体构造的过程。通过这一过程，能够更加直观的展现多面体图形在空间中的结构分布及特点。

3.1动态旋转的正多面体

构造过程：

i.构造两个点A、B

ii.在输入指令栏里输入“正八面体（A，B）”，可以得到正八面体，如图3.1.1

图3.1.2

vi.隐藏旋转前的正八面体，启动滑动条即可得到旋转八面体，即可以得到如图

3.1.3系列的旋转图。

图3.2.3

v.再次用多边形工具连接原正四边形中每个面上的点可得如图3.2.4（左）

正四面体截角后的图形，对不同面调节颜色即可得到如图3.2.4（右）。

图3.3.1

v.隐藏一切无关对象，只留下连接的线段。这样我们就得到了一个截半正方体，如

图3.3.2。

图3.3.2

vi.使用多边形工具，在截半正方体的表面用多边形覆盖，隐藏所有线段。

vii.调节多边形的样式，为多面体上色。

4.复杂多面体的构造

上文介绍了绘制简单多面体的方法，这一部分介绍复杂多面体，如足球、五重四面体、彩球二十面体、开普勒－庞索多面体、菱形六十面体等多面体的构造方法。

4.1彩球二十面体的构造

构造思路：通过观察，可以发现彩球二十面体是从一个正二十面体演变而来，在每个面上长出了一个“角”，这个角是正方体的一个角。

彩球二十面体的构造方法：

i.关闭绘图区，打开3D绘图区。

ii.在坐标轴上构造两点A(-1,0,0)B(2,0,0)。

iii.在指令栏输入正二十面体[A,B]注：输入时指令栏会有提示。

iv.输入完成后，得到一个棱长为3的正二十面体，如图4.1.1。

图4.1.2

ix.使用3D中的垂线工具，过P点做所选平面的垂线。

x.选取球面(球心与半径)工具，以P点为球心做球，半径为b，如图4.1.3。

图4.1.4

xiv.重复以上步骤，在正二十面体的二十个面上都做上一个角。重复时可使用新建工

具。

xv.隐藏无关对象，得到彩球二十面体的骨架，如图4.1.5。（除面心点外，其他点

先不要隐藏，上色时会用到）。

图4.1.5

xvi.上色的过程可能会有些繁琐，还是使用传统的方法，用多边形工具对多面体的面

进行上色。

4.2五重四面体的构造

构造思路：五重四面体的顶点连接起来是一个正十二面体。所以通过正十二面体顶点的相互连接进行构造。

五重四面体的构造方法：

i.构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii.在指令栏输入：正十二面体面体[A,B]，如图4.2.1。（请确保正十二面体的各点

相对位置与图中一样，否则构造会混乱）

图4.2.2

4.3开普勒－庞索多面体的构造

构造思路：仿造平面星化程序，进行立体图形中的“星化程序”，得到开普勒－庞索多面体。

使用普通星化程序，可以得到小星状十二面体和大星状十二面体，以小星状十二面体为例。

小星状十二面体的构造方法：

i.构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii.在指令栏输入：正十二面体[A,B]。

iii.将正十二面体的每条棱延长，直至相交。使用直线工具将所有棱延长如图

4.3.1。

图4.3.2

4.4Spikey多面体图形的构造

Spikey多面体图形的构造方法：

i.构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii.在指令栏输入：正二十面体[A,B]。

iii.选择正四面体工具，单击正二十面体的一个平面，并选择构成这个平面的两个顶

点，构造出一个正四面体如图4.4.1。其它十九个面的方法相同。

图4.4.2

4.5菱形六十面体的构造

图4.5.1

构造思路：

这个多面体也可以从正二十面体构造得出。它其实是在正二十面体的每个三角形上长出来一个“尖”（如图4.5.1），这个尖是由三个菱形和三个三角形成的。注意这里的三角形不是正三角形，菱形也不是通常的“60°菱形”，而是一种叫做GoldenRhombus的菱形（黄金菱形），这种菱形的对角线长度之比刚好是黄金比例。通过在正二十面体的每个面上

构造一个“尖”，制作出整个菱形六十面体。

菱形六十面体的构造方法：

i.构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。

ii.在指令栏输入：正二十面体[A,B]。

iii.过正二十面体的一个面上的三条棱及它们的对棱，分别做三个平面，如图4.5.2。

图4.5.6

4.6截角二十面体的构造

截角二十面体的构造方法：

i.构造两个点A（0，0，0）B（0，3，0）（棱长为3便于之后的构造）

ii.在指令栏输入：正二十面体[A,B]

iii.选取一个顶点，在这个顶点上构造一个以顶点为圆心，半径为1的球。做出球面

与棱的交点。因为之前已经将棱长设置为3，所以所得的交点即为每条棱的三等分点。其余十九个顶点如法炮制。

iv.与之前的构造相似，在每个角截出一个正五边形。用线断连接相邻棱上的三等分

点，如图4.6.1。

图4.6.2

5.总结

本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。通过实例，用软件实现动态旋转的正多面体、截角多面体、截半多面体、彩球二十面体、五重四面体、开普勒－庞索多面体、Spikey多面体图形、菱形六十面体、截角二十面体的构造，由浅入深，由简单到复杂，展现多面体构造过程和GeoGebra软件在数学学习过程中使用的便利。

参考文献

[1]Geogebra[OL].http://www.baike.com/wiki/geogebra,2018.9.1

[2]5个柏拉图体和13个阿基米德多面体的图形[OL].

http://www.360doc.com/content/17/0715/22/17799864_671617816.shtml.2018.9.1

[3]简单常用的多面体[OL].https://wenku.baidu.com/view/3275784cce2f0066f433220e.html?from=search.2018.9.1

[4]多面体[OL].http://elite.tut.edu.tw/~d04040173/repository/fetch/多面體.pdf.2018.9.3