数学开放题及其在中考试题中的类型探讨

数学开放题及其在中考试题中的类型探讨

赵崇华

新疆哈密吐哈油田石油二校赵崇华

数学开放题是数学教学中的一种新题型．它的核心是培养学生的创新意识和创造能力．而这正是新的教育理念的体现，也是近年来中考的热点题型．所以有必要加强对数学开放题的研究．

数学开放题的概念

什么是数学开放题？对此问题的认识，可谓仁者见仁，智者见智.学术界还没有统一的定义.从查阅文献资料看，数学开放题又叫数学开放性题或数学开放型题.有关开放题的含义，一些学者作过这样的论述：

1.答案不确定的问题称为数学开放题.

2.条件不完备，结论不确定的数学问题称为数学开放题.

3.数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题．

从以上论述可以看出，数学开放题有两个明显的特征：一是条件开放，即数学开放题的条件要么是不足，需要进行探索和补充.要么多余，需要进行多种选择；二是结论开放，即数学开放题要么没有明确的结论，要么有太多的结论.至于策略开放有不同的论点.有人认为：数学开放题的解题策略多种多样，方法灵活多变.又有人认为：既然条件和结论是开放的，那么必将有多种多样的解题策略，再者，有的封闭题也有多种多样的解题策略，不只开放题有，所以它不能看作是开放题的基本特征．笔者认为：两个“多种多样”的内涵是不同的．所以更同意前者的论点．

学开放题的基本形式

1.条件开放题

称没有确定已知条件的开放题为条件开放题．一般来说，条件开放题的答案包括：将所缺的条件补充完整，根据自己所给的条件构成数学真命题，做出解答两部分．有时此类开放题的答案只要求解答者补充完整所缺条件，构成数学真命题．由解答者构造所需条件的做法，有利于解答者自主选择展示自己水平的途径与方法，同时也使得条件开放题具有多起点可求解的特点.

例1（陕西省）已知ΔABC内接于⊙O.

⑴当点O与AB有怎样的位置关系时,∠ACB是直角；

⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB与D，当CD与AB有什么样的关系时，

ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD；

⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形中的CD＝2cm.

评析：此题的第⑴、⑵小题是一道条件开放性问题，可考查学生的逆向思维能力.

2.结论开放题

称没有确定结果的数学开放题为结论开放题．一般来说,结论开放题的答案包括：将所缺结果补充完整构成数学真命题，做出完整解答两部分；有时也只要求完成前一部分.结论开放题具有反映不同思维深度的优点，同样有利于解答者选择展示自己水平的途径与方法.

例2（湖北黄冈）已知：如图１，ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，F为BC的中点，D是FC上的一点，过D作BC的垂线交AC于G，交BA的延长线于点E，如果设DC＝x，则

⑴图1中哪些线段（如线段BD可记作yBD）可以看成是x的函数（如yBD＝12-x（0＜x＜6），yFD＝6-x（0＜x＜6）.请再写出其中的四个函数关系式：

⑵图1中哪些图形的面积(如ΔCDG的面积可记作SΔCDG)

可以看成是x的函数(如SΔCDG=2/3X2(0＜x＜6).

请再写出其中的两个函数关系式:①；②.

评析：这是一道立意很新的几何知识与函数知识综合的结论开放题，可考查学生的发散思维能力、分类讨论能力和创新能力，是当前非常新颖的热点题型．

3.条件和结论同时开放题

称既没有确定条件有没有确定结果的开放题为条件和结论开放题.一般来说条件和结论开放题的答案包括:将所缺条件和结论补充完整构成数学真命题，并做出完整的解答这样两部分.有时也只要求做出前一部分.条件和结论开放题具有反映思维灵活性、思维层次性与思维深刻性及试题情景公平的优点，同样利于解答者自主选择展示自己水平的途径与方式.

例3（日本一女教师在一堂开放式课上讲的一个例题）：请你在一块长4m宽3m的矩形土地上设计一个花圃，使其面积是原面积的一半．（好的设计以学生的名字命名）

评析：这种条件和结论开放题由于其自身的开放性，不再是条件确定，方法唯一，答案固定.它吸引学生不依赖于教师和书本，采用不同的方法独立地探索和发现问题的各种各样的答案.使学生由知识的被动接受者，转变为知识的主动探索者，保障了学生的主体地位，从而有利于学生自主意识和独立人格的形成，为培养学生的创新精神奠定基础.

数学开放题基本形式的这几种分类，是相对的，是从一个层面出发的，而不是绝对的.

数学开放题在中考试题中的基本类型

近年来，各地中考数学试题中，开放型试题所占的比例逐年增大，不少地区的中考压轴题都是由开放题当家，而且几乎年年都有新面孔，但是仔细分析，大致有以下几种类型：

自编问题型、阅读理解型、决策运筹型、数学建模型、方案设计型、信息迁移型、学科综合型、条件存在型、题设取舍型、探索结论型、过程动态型、分类讨论型.

中考试题中，这些类型有时单独成题，有时多型合题.解答这些开放题，不仅要求学生具有厚实的基础知识和一定的数学思想方法，而且要求学生具有发散思维能力和创新精神.

例4(湖南常德)已知MN是一条直线,AB是⊙O的直径,且AB=2R,设A、B两点到直线MN的距离分别为x、y,

⑴如图2,当直线MN与⊙O相切时,x、y与O点到直线MN的距离d之间的关系为:

⑵如图３,当直线MN与⊙O相离时,x、y与O点到直线MN的距离d之间的函数关系为：

⑶根据⑴、⑵，你可以的出什么结论：

⑷当直线MN与⊙O相交时，上面归纳的关系是否一定成立？成立时请写出证明过程，不成立时，说明理由.(并请画图)

评析:这是一道阅读理解题,既要阅读文字，又要阅读图形,综合考查学生的阅读理解能力，分类讨论能力等.解这类题应:细看——感悟材料的表象；泛想——归纳材料的共性；敢猜——揭示材料的规律；慎证——说明猜想的合理性.

由于篇幅原因,其余类型留给读者探讨.

数学开放题的教学有利于培养学生良好的思维品质.能保障学生的主体地位,有助于学生主体意识的形成.有利于全体学生主动参与，有利于实现教学的民主性和合作性；有利于学生体验成功，树立自信心，产生学习数学的兴趣；提高学生解决问题的能力．所以，加强数学开放题的研究是时代的要求，教育改革的要求，教师素养的要求.