积分教学的技巧探讨

积分教学的技巧探讨

曾剑华

曾剑华梅州市技师学院514071

摘要本文结合笔者多年经验，采用新的教学思路，创新了积分教学中非常高效的教学方法。

关键词任务驱动教学法积分教学直接积分凑微分

一、前言

“教学有方，教无定法”。在教学过程中，教师可以使用多种教学方法和手段促进教学质量的提高。笔者根据任务驱动教学法的基本原理，积极探索新的教学方法，以解决积分中的根式作为具体明确的目标，在带领学生一起探究根式的处理办法过程中，来学习常见的各种积分方法。

二、直接积分

讲完基本积分公式后，我们就可以去“套公式”积分了，那么，在基本积分公式中，根式可以直接积分的有哪几个呢？细观之，在十三个基本积分公式中，被积函数中有根式的共有两个：

（I型）幂函数积分，譬如，若令，即为。

（II型）。

如果被积函数中有根式，我们可以通过恒等变形看能否将被积函数化到上述两种形式中的某一种，从而直接套公式积分。

例1计算。

分析：分子和分母都是幂函数，故可以利用幂运算的性质，化简为幂函数来积分。

解：

三、凑微分

如果被积函数中的根式不能够通过简单的四则运算等恒等变形的手段，化简为基本积分公式中的两种情形，但是，通过凑微分后仍可以化为基本积分来求解。本质上，这是换元的思想。

例2计算

解：分母上的根式非常类似于(Ⅱ型)积分，故将被积函数拆成两个分式之和，再各个击破。

此题第一个根式是凑微分后当成(Ⅱ型)积分，第二个根式凑微分后当成(Ⅰ型)来积分的。

例3计算

分析：此题解法较多，我们将尝试尽可能多的方法来求解此题，以便触类旁通，活跃思维。

解（法1）：

此种方法将两个根式凑微分后都是当成(Ⅰ型)幂函数来积分的。

四、三角代换

若题中的根式既不能当成(Ⅰ型)来积分，也不能当成(Ⅱ型)来积分，那么，根式就无法通过基本公式来积分，那可以考虑把根式去掉，去掉根式的一种办法就是做换元，使根号内可以开出来。

例4计算

分析：若能将根号内化成某个函数的平方，就可以顺利开根号，从而将根式运算避免掉。考虑到三角函数中的同角三角函数关系，故有下面解法:

解(法2)：

令，所以

一般地说，当被积函数含有:(1)，可作代换；(2)，可作代换；(3)，可作代换；通常称以上代换为三角代换。

五、根式代换

去掉根式的第二种办法，就是把根式整体换元。

例5计算

分析：若将根式整体换元，就可以去掉根式，转化为多项式函数来积分。

解：为了消去根式，可令，则，，于是

当被积函数中含有时，可令，可以消除根号，从而求得积分，通常称以上代换为根式代换。

例6计算

分析：此题若机械地做根式代换，再用新元去表示自变量时仍会是根式，但若用新元去表示，则可避免出现根式，故想到从分子上提取一个放到后面凑微分成。

解(法3)：

令，则。

六、分部积分

，反过来凑微分就是，所以如果分母上有二次根式，可以尝试将其置后凑微分，再用分步积分的方法。

例7计算

分析：分母上是二次根式，可以尝试将其置后凑微分，再用分步积分。

解(法4)：

七、结语

我们从被积函数中根号的处理方法这一视角展开，去串讲了五种常见的积分方法，即直接积分法、凑微分法、三角代换法、根式代换法与分部积分法等积分方法。这种基于任务驱动法的基本原理来组织教学内容的方式，思路清晰，目标明确具体，就是为了处理积分函数中的根式这一具体任务，但在解决这一问题的过程中，我们却学到了几种常见的积分方法，这种任务驱动式的教学模式，比直接讲解各种积分方法，切入点清晰，教学效果要好。

另外，在本文中针对这道题，我们给出四种积分的方法，这种一题多解的教学方法，有利于提升学生的学习兴趣与信心，有利于激发学生的思维，有利于培养学生的创新思维，有利于丰富解题方法积累解题经验。

参考文献

【1】同济大学数学系，高等数学(第六版)，北京高等教育出版社。