一道双曲线问题的分析

一道双曲线问题的分析

王志祥

王志祥山东省德州一中

在教学过程中，常发现很多问题之间存在若隐若现的内在联系。如能对所做的问题进行积极思考和深入分析，辨清问题间的内在联系，对开阔学生思路、培养解题能力有很大的帮助。下面就一道双曲线问题举例说明。

例题：经过双曲线上任意一点作平行于实轴的直线与双曲线两条渐近线交于Q、P两点（见图1）。求证：|PQ|·|PR|为定值。

证：不妨设双曲线的方程为x2222y.＝1（a＞0，b＞0）。ab22在双曲线上任取一点P（x0，y0），则有xa0.yb0=1，即：222x02.a2by20=a2。

因为，双曲线的渐进线方程为x＝±ay/b，且PQ与x轴平行。所以，P、Q、R纵坐标相同，且横坐标分别为x0，ay0/b，－ay0/b。所以，|PQ|·|PR|＝|x0－ay0/b|·|x0＋ay0/b|＝xay/b220220.＝a2（定值）。如果改变问题中的条件，容易得到：［推论1］经过双曲线上任一点P作为平行于双曲线虚轴的直线与其渐近线分别交于Q、R两点，则|PQ|·|PR|为定值。

证：不妨设双曲线的方程为x2.y2=1（a＞0，b＞0）。a2b2

在双曲线上任取一点P（x0，y0），则有ax022.by022=1。

即y02.b2y202=b2。a因为，双曲线的渐进线方程为y＝±by/a，且PQ与y轴平行。所以，P、Q、R横坐标相同，且纵坐标分别为y0，bx0/a，－ax0/a。

所以，|PQ|·|PR|＝|y0－bx0/a|·|y0＋bx0/a|＝y/2220220babx=.（定值）。［推论2］过双曲线上任一点P作倾斜角为α（定值）的直线l与双曲线两渐近线交于Q、R，则|PQ|·|PR|为定值。

证：不妨设双曲线的方程为ax22.by22=1（a＞0，b＞0）。

则其渐近线方程为bx±ay＝0。设P（x0，y0）是双曲线上的点，则过P的直线l的参数方程为..x=x0+tcosα.y=y+tsinα由b（0x0＋tcosα）±a（y0＋tsinα）＝00000可得t1＝.asinbxα++baycosα，t2＝asinbxα..baycosαbx0+ay0bx0.ay0

所以，|PQ|·|PR|＝asinα+bcosαasinα.bcosα2222bx.ay0＝222222ab（定值）2222

asinα0.bcosα

asinα.bcosαπ

＝

不难看出，前面两个问题是一般结论中α＝0，2的情况。

仔细分析这个问题，在一般结论中，两条渐近线在坐标系中的位置是确定的，题中l的倾斜角也不变。由此知l与两渐近线所成的角也是恒定不变的，不妨用β，γ表示l与两条渐近线所成的角，d1，d2表示P点到两条渐近线的距离，如图2所示，则有：

d1＝|PQ|sinβd2＝|PR|sinγ

d1d2＝|PQ|·|PR|·sinβ·sinγ

既然当α为定值时，|PQ|·|PR|及β，γ为定值，从而d1·d2也为定值。由此得：

［推论3］双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值。

若考虑推论3的逆命题，还可得到：

［推论4］若平面内点到两条相交直线距离之积为非零常数，则该点轨迹为双曲线。

证：以两条相交的定直线的角平分线为坐标轴建立坐标系（图略）。不妨设两条相交直线方程分别为kx－y＝0，kx＋y＝0点P的坐标为（x，y），P到两条相交直线的距离分别为d1，d2，则：22kx.ykx+y

kx.1=m（定值）.=2dd1.2=k2+1k2+1k+1

即，(2x+21)/k2.mky22+1)=±1。

mk(利用推论4可以解释y＝1/x的图象为什么是双曲线，并且还知道它是等轴双曲线，其离心率为2。若对推论3继续推广，还可得到如下结论：［推论5］过双曲线上任意一点向其渐近线引另一条渐近线的平行线段，则两线段之积为定值。（证明留给读者）

上面这些问题，大多在学习双曲线的过程中能够做到。但分开来孤立对待，不如通过对问题的引申及推广得到的效果更好，这样既锻炼了学生的思维能力，也提高了学生解题的兴趣。