函数图像的灵活应用

函数图像的灵活应用

◆孙树志

◆孙树志山东省临淄区金山中学255438；郭青山东省临淄区蜂山中学255438

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，关键是要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及图像的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义，由数思形，以形想数，做好数形转化。数形结合思想在初中数学多个领域都有渗透，我们在平时的教学中应注意积累，加以整合，供学生学习，加深学生对这一思想的灵活运用。下面以数形结合思想在函数中的应用举例说明，借助函数图像解决一些问题，本质上就是利用好图形的直观性以及图像的性质，图像是横坐标与纵坐标的中介或者说自变量x与应变量y的中介，主要明确代数式与图像之间的关系即可。这部分内容突出一个看字，下面举例说明：

一、借助函数图像求方程或方程组的解

例1、如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为()。

A、xl=1，x2=2

B、xl=-2，x2=-1

C、xl=1，x2=-2

D、xl=2，x2=-1

点评：方程的解实质是纵坐标相等时对应的横坐标的值或者说图像交点的横坐标。借助图像很容易看出答案选C。

二、借助函数图像解不等式的解集

例2、如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为p，则不等式x+b>ax+3的解集为______。

点评：此题的不等式可以看作函数值y1>y2，也是通过看图像交点右侧的部分对应的横坐标的集合，故应填x>1。

三、借助函数图像的增减性比较大小

例3、如果点A（-4，y1）、B（-3，y2）、C（-6，y3）在抛物线y=-x2-4x+5上，比较y1、y2、y3的大小。

点评：方法①，对于二次函数首先确定对称轴，再看三个点的位置比较它们的大小；方法②，当然可以直接计算函数值再比较。

例4、如果点A（-4，y1）、B（-3，y2）、C（2，y3）在抛物线y=-x2-4x+5上，比较y1、y2、y3的大小。

点评：由于A（-4，y1）、B（-3，y2）、C（2，y3）在对称轴的两侧，我们可以找出点C（2，y3）关于对称轴的对称点，然后应用例3的解法解之。

点评：对于一次函数和反比例函数需要知道图像的象限，根据函数的y随x的变化而变化来比较大小。

四、借助函数图像点的坐标确定特殊线段的长求三角形等图形的面积

例5、如图，在反比例函数y=（x>0）的图像上，有点p1、p2、p3、p4，它们的横坐标依次为1、2、3、4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝_______。

点评：此类题目关键在于根据图像看出特殊点的坐标决定特殊线段的长，本题三个阴影部分的面积和为P1为顶点的矩形面积（|x1y1|=|k|=2）减以P4为顶点的矩形面积的差。

五、借助函数图像判断系数k、b或a、b、c、△、特殊代数式的符号

例6、（2007天津中考试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b），m为不等于1的实数。其中正确的结论有（）。

A、2个B、3个C、4个D、5个

点评：选B。由图像知a＜0、b＞0、c＞0，∴abc＜0,①错误；当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴②错误；当x=2时，y=4a+2b+c＞0，③正确；∵-=1，∴a=-，再把a=-代入a+c＜b,④正确。当x=1时，y有最大值y=a+b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b>m（am+b），⑤正确。

规律方法：根据二次函数的图像确定有关代数式的符号，是二次函数中一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性。解题时应注意：开口方向与a的关系，抛物线与y轴的交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的符号关系。当x=1时，决定a+b+c的符号，当x=-1时，决定a-b+c的符号。在此基础上，还可推出其他代数式的符号。运用数形结合的思想更直观、更便捷。

总之，在遇到函数图像问题时，要利用好图形的直观性以及图像的性质，图像是横坐标与纵坐标的中介或者说自变量x与应变量y的中介，主要明确代数式与图像之间的关系即可。