(姜堰市梁徐中学,江苏姜堰225500)
中图分类号:G623.5文献标识码:A文章编号:1673-0992(2010)04A-125-01
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线,一次函数图像的运动即为直线的几何运动,而一切图形的运动归根结底是图形上“点”的运动,因此,求运动中一次函数图像的解析式,主要是运用运动与静止、一般与特殊的数学思想方法,把“直线”运动转化为“点”的运动。
一、一次函数图像的平移
例1、求:①直线y=2x沿y轴向上平移3个单位后,得到的直线解析式;
②直线y=2x-2沿x轴向左平移3个单位后,得到的直线解析式。
析:直线平移“k”不变。直线沿y轴向上或向下平移,主要是看与y轴交点(0,b)位置的变化;直线沿x轴向左或向右平移主要是看与x轴交点(-b/k,0)位置的变化。
解:①如图:设平移后的直线解析式为:y=2x+b
把直线y=2x沿y轴向上平移3个单位后与y轴的交点坐标为(0,3)
把(0,3)代入y=2x+b得,b=3
∴平移后的直线解析式为:y=2x+3
②如图:设平移后的直线解析式为:y=2x+b
把直线y=2x-2沿x轴向左平移3个单位后与x轴的交点坐标为(-2,0)
把(-2,0)代入y=2x+b得,b=4
∴平移后的直线解析式为:y=2x+4
二、一次函数图像的轴对称
例2、求:①直线y=1/3x关于x轴对称的直线解析式;②直线y=x-2关于y轴对称的直线解析式。
析:正比例函数y=kx(k≠0)的图像关于x轴(y轴)对称,通常找原点(0,0)和点(1,k)这两点关于x轴(y轴)的对称点;一次函数y=kx+b(k≠0)的图像关于x轴(y轴)对称,通常找(-b/k,0)和(0,b)这两点关于x轴(y轴)的对称点。
解:①如图:设关于x轴对称的直线解析式为:y=kx(k≠0)
∵直线y=1/3x经过点(1,1/3),
∴关于x轴对称的新直线必过点(1,-1/3)
把(1,-1/3)代入y=kx得,k=-1/3
∴关于x轴对称的直线解析式为:y=-1/3x
②如图:设关于y轴对称的直线解析式为:y=kx+b(k≠0)
∵直线y=x-2经过点(2,0)和点(0,-2)
∴关于y轴对称的新直线必过点(-2,0)和点(0,-2)把(-2,0)、(0,-2)代入y=kx+b得,k=-1,b=-2
∴关于y轴对称的直线解析式为:y=-x-2
三、一次函数图像的旋转
例3、求:①把直线y=x-2绕原点O旋转1800后得到的直线解析式;②把直线y=x+2绕点A(0,2)逆时针旋转900后得到的直线解析式;③把直线y=-3/4x+3绕原点O顺时针旋转900后得到的直线解析式。析:直线旋转主要是抓住旋转的三要素,即旋转中心、旋转方向和旋转角度,找(-b/k,0)和(0,b)这两点绕定点旋转后的对称点。
解:①如图:设绕原点O旋转1800后的直线解析式为:y=kx+b(k≠0)
∵直线y=x-2经过点(2,0)和点(0,-2)
∴绕原点O旋转1800后的新直线必过点(-2,0)和点(0,2)
把(-2,0)、(0,2)代入y=kx+b得,k=1,b=2
∴绕原点O旋转1800后的直线解析式为:y=x+2
②如图:设绕点A逆时针旋转900后的直线解析式为:y=kx+b(k≠0)
∵直线y=x+2经过点(-2,0)和点(0,2)
∴绕点A(0,2)逆时针旋转900后的新直线必过点(2,0)和点(0,2)
把(2,0)、(0,2)代入y=kx+b得,k=-1,b=2
∴关于y轴对称的直线解析式为:y=-x+2
③如图:设绕原点O顺时针旋转900后的直线解析式为:y=kx+b(k≠0)
∵直线y=-3/4x+3经过点(4,0)和点(0,3)
∴绕原点O顺时针旋转900后的新直线必过点(3,0)和点(0,-4)
把(3,0)、(0,-4)代入y=kx+b得,k=4/3,b=-4
∴绕原点O顺时针旋转900后的直线解析式为:y=4/3x-4
⑤①