数学思想方法在中考复习中的地位

数学思想方法在中考复习中的地位

张秀明,闫秀波

吉林省磐石市第四中学张秀明；闫秀波

【摘要】本文主要阐述了初中数学思想方法在中考复习中的地位，其中数形结合思想、、转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想、数学建模思想等等在中考复习中占有重要的地位。

【关键词】数形结合；转化；分类；函数；方程；建模

【中图分类号】G632【文章标识码】B【文章编号】1326-3587（2012）07-0134-02

数学思想方法的考查是近几年中考命题中极为热点的问题，数学思想伴随着数学知识体系的建立而确定，它是数学知识体系的灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化成能力的桥梁，是解决数学问题的有利武器。

加强对学生数学思想方法的培养体现了新课标的要求，也是近年来中考数学命题值得关注的热点问题。在中考复习的过程中对于数学思想的渗透，有着极其重要的作用。

初中阶段常用的数学思想方法有：数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想、建模的思想等等。下面就其中几种在中考复习中所处的重要地位发表一下自己的粗浅看法，供同行参考。

一、数形结合思想

数形结合思想是说数的问题可用图形分析解决，形的问题可用对数的研究去思考，使数式与图形结合起来达到既分析了数量关系又揭示其几何意义，使代数与几何结合起来，这种思想的应用可使题目更加直观、形象、便于学生理解。

如：已知：a、b均为正数，且a+b=2：求u=的最小值。

分析：由、的形式想到直角三角形中用勾股定理求斜边的公式，这题的思路就是利用了数形结合的思想通过构造直角三角形的方法求解，最小值为。

二、转化思想

转化思想是说在解决问题时常常需要进行等价转化，把生疏的题目转化为熟悉的题目，通过已知与未知的转化、特殊与一般的转化、动与静的转化，条件与结论的转化等，使要解决的问题化难为易，化繁为简，这种思想在数学解题的过程中是最常见的。

如：在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于多少？

分析:此题是求正方形ABCD的面积，学生感到很难不容易有思路，但我们可以利用已知条件把问题转化为直角三角形的问题，在由△ABE∽△ECF，利用比例关系可设AB=4x，EF=3x，则BE=x，在Rt△ABE中根据勾股定理列出关系式，即可求得正方形ABCD的面积等于。

三、分类讨论思想

分类讨论思想是说当一个问题用统一的方法不能继续做下去的时候，需要对所研究的问题分成若干个情况分别进行研究的思想方法，它主要是根据研究的对象性质的差异，分各种不同的情况予以考察、掌握分类讨论的方法，分类的原则，这对解题是很重要的，所谓分类的原则就是分类中的每一部分都是独立的；一次分类按一个标准；分类讨论要逐级进行，做到不重、不漏。

如：已知，那么直线y=kx+k一定经过（）

A。第一、二象限B。第二、三象限

C。第三、四象限D。第一、二、三象限

分析：此题可用等比的性质，但要有条件就是b+d+f≠0，所以要分两种情况进行讨论。

即（1）当a+b+c≠0时，由等比性质得k=2。所以直线y=kx经过第一、二、三象限。

（2）当a+b+c=0时，a+b+c=-c，∴k=，所以直线y=kx经过第二、三、四象限。

综合（1）（2），直线y=kx经，过第二、三象限，故选B。

四、函数与方程思想

函数与方程思想是对于数学问题要学会用运动、变化的观点去观察、分析和处理问题；学会转化未知与已知的关系，能把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组），从而使问题得到解决的数学思想方法。

函数思想主要用于研究变量间的关系和变化状态的有关问题，运用函数思想解题，建立函数关系模型是关键。

方程思想在探索解题思路，尤其对解决与数量有关的数学问题时更为常用。

如：汽车在行驶中，由于惯性的作用刹车后还要行驶一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的一个重要因素，在一段限速为35千米/小时的弯道上，甲、乙两车相向而行，由于发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了。事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离为10米。又知甲、乙两种车型的刹车距离s米与车速x千米/小时的函数关系式为：S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2问：两车相撞的主要责任者是谁？说明理由。

分析：结合题意，判断两车相撞的主要责任者是谁的依据，就是看他们是否超速行驶，这可以通过刹车距离与车速的函数关系式求出。

本题对于条件中给出函数解析式的问题，相对比较简单，常用的方法常常利用函数的顶点、对称性的性质或者把二次方程和二次函数结合起来，体现了函数和方程的思想，考查了学生对这部分知识的掌握和运用。

答案:乙车负主要责任，理由如下:

由题意得，对于甲车有0.1x+0.01=12,x2+10x-1200=0,

(x-30)(x+40)=0，解得x1=30,x2=-40(不合题意，舍去),

对于乙车有0.05x+0.005x2=10,即x2+10x-2000=0,

(x-40)(x+50)=0，解得x1=40,x2=-50(不合题意，舍去),

由30＜35＜40知，乙车超出规定规定限速35千米/小时，所以乙车应负主要责任。

五、数学建模思想

数学建模思想是说在具体的问题分析中，应尽可能通过抽象确定出主要的参量、参数运用与问题有关的定律、原理建立起它们间的某种关系，这样一个具体的问题就转化为了一个数学模型。

近年来解直角三角形应用题作为考查应用能力的题目在中考中一直是热点问题，这类题目都是通过建立梯形、三角形等模型运用梯形、三角形的相关知识理解题目给出的示意图或自己画出示意图，找出要解的直角三角形，或通过添加适当的辅助线构造出直角三角形。在数学试题中利用建模思想解题，这样的例子很多很多就不一一列举了。

总之，中考试题中涉及初中阶段课程标准要求的各种思想方法，内容丰富，形式多样，在中考复习阶段占有重要地位，所以应该对数学思想方法进行梳理总结，在复习的过程中加以渗透，便于学生理解应用。