基于超定方程组对太阳影子定位张妍

基于超定方程组对太阳影子定位张妍

张妍赵璐赵佳亮

华北理工大学管理学院063000

摘要：本文针对太阳影子定位技术的应用，以太阳高度角与影长关系等地理知识为理论基础，建立超定方程组，解决了直杆的精准定位问题。

具体求解时，考虑到是否会存在直杆位于夜半球等不符地理常识的情况，首先对范围进行缩小，将合理范围精确至（79.5°E，169.5°E）。之后，依据建立关于所求点经纬度、杆长的超定方程组，采用最小二乘法确定最优解。最后，依据球体对称原则，找到与所求解关于太阳直射纬度南北对称的点，并与合理范围进行校对，进而检验直杆所处位置是否合理。直杆位置有11.23°N，130.62°E等。最后，对模型进行评价，提出一些优化策略。

关键词：影子定位超定方程组最小二乘法

一.引言

本文以2015年全国大学生数学建模竞赛A题为研究对象，根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。

结合所给数据可知直杆影长在不断延伸，且时间段为14:42-15:42，应先根据地理知识对直杆可能存在的地理范围进行缩小。之后建立关于所求点经纬度与杆长的超定方程组，再基于最小二乘法建立关于所求杆长与实际杆长的目标函数，以减小误差，找到最优解。另外基于假设地球是一规则球体，以太阳直射纬度为对称轴，寻找与以求点南北对称的点最后，将所得解与准备阶段确定的合理区域进行比对，筛去不符合区域，保留符合区域，以达到精确直杆地理位置的目的。

二.模型求解

2.1模型准备

依据天体转动知识，对直杆所处地理位置进行范围上的缩小，确定合理范围。

基于太阳直射点运动规律，求得4月18日太阳直射纬度为7.82°N。当北京时间为14:42时，根据“东加西减”时区计算法，求得79.5°E时间为12:00，进而推算出昼半球范围为（10.5°W，169.5°E）如图6，若最终所求直杆经度范围超出此范围，则其位于夜半球，不会出现影子。

进一步精确范围，基于地球自转原则，（10.5°W，79.5°E）区域随着地球自转与公转，该区域一部分不断靠近太阳直射点，一部分开始远离太阳直射点。影子逐渐变短或先变短后变长，这都与题中所给影长一直延伸的趋势不同，因此该区域点所求点也不符合题意，应除去。合理范围精确至（79.5°E，169.5°E）。

由于题中以一个小时为时间间隔，所以（154.5°E，169.5°E）会随着地球自转逐步进入夜半球，与所给影长一直延伸的趋势矛盾。最终，合理范围精确至（79.5°E，154.5°E）如图2蓝色阴影区域。

2.3确定直杆地理位置模型的结果分析

基于最小二乘法，通过给出不同的初始值多次进行迭代，得到三组超定方程组的最小二乘解，即直杆影长变化趋势，求得直杆地理位置如表1：

将所得解与给定范围进行校对，发现六个位置全部位于合理范围（79.5°E，154.5°E）之内，因此确定所求六个位置均合理。

三.结语

本文在求解直杆位置前，先依据地理知识对直杆范围进行缩小，降低不符地理常识的情况出现的可能性，较好地保证了所求解的正确性。求解直杆地理位置后，进一步思考天体对称问题，得到以太阳直射纬度为对称轴，与所得解南北对称的地区，没有遗漏符合题意的解。体现了思维的严谨性与模型的科学性。

参考文献

[1]徐光来,徐晓华,汪青.高师“地球概论”课程天球坐标系教学实践与思考[J].中国地质教育,2014(01):48-50.

[2]向欢.一类非线性超定方程组数值解法的研究[J].数学理论与应用,2017(Z1):17-25.