行列式的若干计算方法研究

行列式的若干计算方法研究

吴梦溪

吴梦溪哈尔滨绥化学院152061

摘要在《线性代数》中，行列式的计算是线性代数中的重点、难点，特别是直接计算阶数较高的行列式往往是困难和繁琐的。因此熟练地掌握行列式的计算方法至关重要。行列式的许多方法不是单独使用的，这就要求针对行列式的结构，以找出适当的办法来达到快速、准确、方便地计算行列式。本文例举了一些常见的求行列式的方法，以期对扩展行列式的计算方法的研究有所裨益。

关键词行列式计算方法线性代数阶数

行列式的计算方法异常繁多且较为灵活，需要有较强的计算技巧，当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，所以只有零元素非常少时才可利用定义计算，如例照某一行或某一列展开，或者是完全展开式。更多的还是利用行列式的性质计算。值的注意的是，在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，那行非零元素最少就从哪行开始。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

方法1：化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法及重要方法之一。因为，若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果则为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要的简便算法。

另外，虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式，但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较为繁琐。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例1：计算如下行列式的值：

[分析]：显然本题阶数较高，若直接化为三角形行列式，计算很繁琐，因此我们要充分利用行列式的性质。最好先从第“n-1列”开始乘以“－1”加到第“n”列，“第n-2列”乘以“－1”加到第“n-1”列，一直到“第一列”乘以“－1”加到“第2列”。然后把“第1行”乘以“－1”加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算则较为简单。

解：

其中为中的元素的代数余子式。

按某一行（或某一列）展开法可以将一个“n阶”行列式化为“n”个“n-1阶”行列式计算.若继续使用按某一行（或某一列）展开法，可以将“n”阶行列式降阶直至化为许多个“2阶”行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。更一般地是用拉普拉斯定理（这样可以降低多阶），但一般情况下，按某一行（或某一列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（或某一列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，为了使运算更加简便，应用按某一行（某一列）展开法时，往往是先利用列式的性质化简，应利用行列式的性质将某一行（或某一列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。

例2：计算20阶行列式

以上就是计算行列式最基本最简易的两种方法，接下来介绍的一些方法，都应该与行列式的性质和基本方法结合起来。

方法3：递推法

应用行列式的性质，把一个“n”阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，“n-1阶”或“n-1阶”与“n-2阶”等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给“n”阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

[注意］：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，则不能使用此方法。

例3：证如下行列式等式

笔者认为只要理解并熟练掌握以上6种方法，大多数的行列式计算题都能够迎刃而解。并且一个题目有时候要适用于多种解法，或一个题可由每种方法独自解出，这就需要大家在实际解题过程中多练习，多实践，并能够举一反三的灵活应用，这样才能找出一个最简便的方法解出其值。

参考文献

【1】李师正。高等代数复习解题方法与技巧[Ｍ]。高等教育出版社,2005年版。

【2】张贤科，许甫华。高等代数解题方法[Ｍ]。清华大学出版社,2001年版。

【3】李永乐.研究生入学考试线性代数[Ｍ]。北京大学出版社,2000年版。

作者简介：吴梦溪(19-),男,黑龙江哈尔滨人，绥化学院2008级本科生。