函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

(整期优先)网络出版时间:2018-02-12
/ 1

函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

赵文龙

关键词:函数;奇偶性;周期性;对称性;关系

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系,如果知道其中两个就能得出另外一个,这对我们研究函数的性质很有帮助。

知识背景:1.奇函数的抽象性质:;2.偶函数的抽象性质:;3.周期函数的抽象性质:;4.对称函数的抽象性质:

若或,则函数图象关于直线对称;若或,则函数图象关于点对称.

一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性

例1.若函数是奇函数,周期为2,求证:函数关于点对称.

解析:∵函数是奇函数且周期为2,∴且,

∴,∴,即,

∴函数关于点对称.

例2.若函数是偶函数,周期为2,求证:函数关于直线对称.

解析:∵函数是偶函数且周期为2,∴且,

∴,即,∴函数关于直线对称.

二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性

例3.若函数是奇函数,图象关于直线对称,求证:函数的周期为.

解析:∵函数是奇函数且图象关于直线对称,

∴且,∴,

∴,∴,即函数的周期为.

同理:若函数是奇函数,图象关于关于点对称,可求出函数的周期为.

例4若函数是偶函数,图象关于直线对称,求证:函数的周期为.

解析:∵函数是偶函数且图象关于直线对称,∴且,∴,∴,即函数的周期为.

同理:若函数是偶函数,图象关于关于点对称,可求出函数的周期为.

三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性(有特定条件:周期是对称值的2倍)

例5已知函数的周期为,图象关于直线对称,求证:函数为偶函数.

解析:∵函数的图象关于直线对称,∴,

∴,又∵的周期为,∴,∴,即函数为偶函数.

例6已知函数的周期为,图象关于点对称,求证:函数为奇函数.

解析:∵函数的图象关于点对称,∴,

∴,又∵的周期为,∴,

∴,即函数为奇函数.

以上结论较多,只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系,并掌握推导方法即可.

作者简介:赵文龙,安徽省来安县第三中学,高中一级教师,滁州市中青年骨干教师,来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。曾在《数理天地》《中学生数理化》《学习方法报》报刊杂志上分别发表文章《三角函数变换的技巧》《不要小看反比例函数》《对两种变量的讨论》。

(作者单位:安徽省来安县第三中学239200)