带电粒子在磁场中偏转的边界极值问题

带电粒子在磁场中偏转的边界极值问题

周峰

周峰（攀枝花市大河中学四川攀枝花617000）

带电粒子在磁场中的偏转问题可以很好地考察学生物理过程分析、空间想象和应用数学知识解决物理问题的能力，因此一直受到高考命题专家的青睐，成为历年的热门考题，且常作为压轴题出现。对于带电粒子在已知边界的有界磁场中偏转的问题较为常见，其解题思路（先由几何知识作出带电粒子的运动轨迹圆心，然后求其圆心角，进而确定带电粒子在磁场中的运动时间）大家较为熟悉。而对带电粒子在“待定”边界的最小有界磁场中偏转的问题则较为少见，这类问题灵活性较强，能更有效地考查学生的发散性思维和灵活应变能力，具有很好的区分度。通常可采用几何作图方法直接进行求解；当边界较为复杂时也可借助解析法进行求解。本文首先通过剖析典型的高考真题总结出该类问题的一般解题规律，并针对性地设计创新例题进行训练，从而使学生达到举一反三，融会贯通。

1.例题精选

例1：如图1所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）

解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，洛伦兹里提供向心力，则，可得质点在磁场中作圆周运动的半径为定值。由题设的质点在有界磁场区域中入射点和出射点方向垂直的条件，可判定带电粒子在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆周的1/4圆弧，这段圆弧与粒子射入和射出磁场时的速度方向相切。过点a作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线aM、bN相距均为R的点即为带点粒子在磁场中运动轨迹的圆心，图2中虚线圆弧即为带点粒子在有界圆形磁场中运动的轨迹。由几何关系知：过M、N两点的不同圆周中面积最小的是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为

例2：（创新迁移）如图3所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）

解析：设粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力，可得为一定值。如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB进入、BC射出磁场的运动轨迹。过P、Q两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ为直径的圆（如图4中实线圆所示），即所求的最小圆形磁场区域。由几何关系知，实线圆的半径，则待求最小圆形磁场区域的面积。

2.带电粒子在有界匀强磁场中运动教学心得

带电粒子在有界匀强磁场中运动实质是一类运动问题，这一类运动由于研究对象的特殊（带电粒子，不计重力）和运动环境的特殊（有界匀强磁场）及处理方法的特殊而在所有运动问题中独树一帜，又由于此类题目对学生的综合能力要求高而倍受高考的青睐，09及10年全国高考理综Ⅰ压轴题中均出现。那么在复习课教学中如何突破这一专题呢？结合多年的教学实践，笔者认为应把握以下几点。

2.1注重基础和细节，放慢节奏，循序渐进。首先应让学生明白四个基点；①研究对象；②运动环境。认识什么是有界匀强磁场及常见的类型（单一边界、条形边界、矩型边界、圆型边界）；③运动性质（匀速圆周运动）及轨迹（圆周的一部分或几个圆周的组合）。④处理方法，既找圆心→描轨迹→求半径→解有关的量（ｍBｑｖ）和运动时间。学生对这类题目所以产生畏难情绪的主要原因有两点：一是做图能力差，做不出准确的轨迹图；②教学中节奏太快，台阶太高，学生跟不上。征对这种情况，通过反复的教学实践，笔者认为该专题至少要安排四课时。第一课时讲明四个基点，一至两道例题，练习一两道题目，重点让学生体会运动特点,掌握处理方法。具体过程如下：

2.2充分挖掘和利用模型。高中物理知识的理解和掌握离不开模型这个载体。这一部分知识在教学中对模型的挖掘和利用分以下环节：①对基本模型的收集。既四种常见有界匀强磁场及多个有界场的综合。②对基本模型中基础问题的求解。体现在第二课时中对单一边界和圆形有界匀强磁场有关问题的解决。③对基础模型的变形应用。以最常见的单一边界的有界匀强磁场为例：首先是明白粒子在磁场中运动的一些基本规律，如进出场时速度与边界的夹角特点、特殊的轨迹如半圆、正负电子以同一速度进入场时的时间比及弦长等特点，接着求解两个边界重和的有界场中的运动及与挡板碰后进入此类型场或从此类型场出来后与挡板碰等题目，属于第三个环节。在教学过程中，充分发挥学生的作用，让学生收集和变通出不少的典型题目，既让学生体会到学习的乐趣又让学生灵活掌握了知识，又为二三四课时中收集了练习题，可谓一举多得。

2.3突破四个一。哪四个一呢？分别是一个前提，既画出轨迹图；一个核心，即方法思路。一个桥梁，既轨迹半径的求解。半径的求解有两个思路，①通过几何关系求（找出半径与已知的有关物理量如场的尺寸的定量关系），②由公式向心力公式即R=qＢ／ｍｖ求解。一个作用，既有界场对粒子的偏转。在画轨迹图时，关键是圆心的确定，提倡一个方法，先假设有界场为无界场，画出一个完整的圆，再将有界场的边界加入，大家不防试一试。方法的理解应用渗透教学的至始至终。让学生在不断的练习中深刻体会磁场对带电粒子的唯一作用就是偏转。

2.4注重各种规律的总结和应用。对一些基本规律如圆心的确定、偏转角和圆心角和弦切角的关系、圆形有界场中若粒子进入时速度方向过磁场圆心则出时速度必过圆心等要让学生熟练掌握和应用。对一些较抽象的规律如极值问题中两类情形：一为粒子进有界磁场时速度方向不变数值变化引起半径变化从而产生的极值；二为粒子进有界场时速度的值不变方向变化而产生的极值，这些规律应在学生进行一定量的练习题目时引导得出，并且通过相应练习进行再体会再强化，不能一蹴而就，急于求成。

总之，学无止境，教无定法，教学相长，在不断的教学实践中，会有更好的教法和学法，有更多的体会。