巧用类比，激活思维

巧用类比，激活思维

黄龙

黄龙（贵州贵安新区新艺学校贵州贵安新区561114）

中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2019）04-0125-02

随着《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《课标》）的正式颁布，发展学生数学核心素养已成为数学课堂教学的核心目标。因此，本文拟就核心素养导向下类比教学作一些探究。

下面是笔者在教学《高中数学》人教A版选修2-2例3时，对勾股定理进行类比迁移的具体例子，可以得到很多相似的结论，供同仁参考。

勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即c2=a2+b2

2.1类比结论1：在长方体中，对角线的平方等于长方体三度平方之和。即d2=a2+b2+c2，如图1所示。

证明：设AC1=d，AB=a，AD=b，AA1=c

∵

∴

又，，

∴=

即AC12=AB2+AD2+AA12∴d2=a2+b2+c2

2.2类比结论2：在长方体中，对角线的平方的2倍，等于交于同一顶点的三个面的面对角线的平方和。即2d2=m2+n2+p2

证明：如图2所示，设AC1=d

AC=m,AB1=n.AD=P

∵AC2=AB2+AD2①

AB12=AB2+AA12②

AD12=AD+AA12③

把①、②、③相加得AC2+AB12+AD12=2（AB2+AD2+AA12）

即2AC12=AC2+AB12+AD12

∴2d2=m2+n2+p2

2.3类比结论3：在长方体中，对角线与交于同一顶点的三棱所成角余弦平方和等于1。即

证明：如图3所示，设AC1与AB、AD、AA1所成角分别为、、，有

∴

据结论1知AB2+AD2+AC12=AC12

∴

2.4类比结论四：在长方体中，对角线与交于同一顶点的三个面所成角的余弦平方和等于2，即

证明：如图4所示，设AC1与面AC、AB、AD1所成的角分别为、、

∵，∴

∴

据结论2知：AC2+AB12+AD12=2AC

∴

2.5类比结论5：正方体中的截面与共顶点三个面所成的三个二面角的余弦平方和等于1。即

证明：如图5所示，设DA=aDB=bDC=c，依据三垂线定理作出二面角C—AB—D的平面角，=∠CED。（CE⊥AB，DE⊥AB），有=，由DE?AB=DA?DB，得DE=，

又

CE=

所以

=

同理有：

，

故有+

()2+()2=1

2.6类比结论6：在以D—ABCD为三直三面角的四面体中，D所对的面的平方等于三直三面角的三个面的面积的平方和。即

证明：如右图6所示，过D作

截面DAE⊥BC，则截面DAE⊥面ABC

∴

2.7类比结论7：正方体的截面面积的平方等于被截去部分的三组相对面面积差的平方和（包括退化的情形）。

即S2=︱S1-S4∣2+︱S2-S5∣2+︱S3-S6∣2

当S4=S5=S6=0时，即为结论6的退化情况。

设：S=，S1=S

S2=SA1B1C1HKS3=SB1BNFCS4=SGHF

S5=SBNMS6=SA1GK在其中的S1与S4S2与S5S3

图7

与S6是被截面截去部分的三组相对面。

证明：如图7所所示，设S1S2S3与S所成的二面角分别为，则与所成的二面角分别为。

即

由此得(1)

同理得(2)

(3)

把（1）（2）（3）代入（*）式并整理得

即

四、类比教学需要注意的问题

核心素养导引下的类比教学，通过层层探究，彰显了类比猜想的魅力，正如牛顿所说“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，以此以大家共勉。

参考文献

[1]《高中数学》人教A版（选修2-2）.