加密与解密算法的研究

摘 要：计算机信息的保密问题显得越来越重要，无论是个人信息通信还是电子商务发展，都迫切需要保证Internet网上信息传输的安全，需要保证信息安全。其中，信息安全的核心是密码技术。

关键词：信息安全 密码技术 方案论证 应用

1．对称密码体制

对称密码体制是一种传统密码体制，也称为私钥密码体制。在对称加密系统中，加密和解密采用相同的密钥。因为加解密密钥相同，需要通信的双方必须选择和保存他们共同的密钥，各方必须信任对方不会将密钥泄密出去，这样就可以实现数据的机密性和完整性。对于具有n个用户的网络，需要n(n-1)/2个密钥，在用户群不是很大的情况下，对称加密系统是有效的。但是对于大型网络，当用户群很大，分布很广时，密钥的分配和保存就成了问题。

2．非对称密码体制

非对称密码体制也叫公钥加密技术，该技术就是针对私钥密码体制的缺陷被提出来的。在公钥加密系统中，加密和解密是相对独立的，加密和解密会使用两把不同的密钥，加密密钥向公众公开，谁都可以使用，解密密钥只有解密人自己知道，非法使用者根据公开的加密密钥无法推算出解密密钥，故其可称为公钥密码体制。如果一个人选择并公布了他的公钥，另外任何人都可以用这一公钥来加密传送给那个人的消息。私钥是秘密保存的，只有私钥的所有者才能利用私钥对密文进行解密。

3．目的和意义

（1）解决大规模网络应用中密钥的分发和管理问题

采用分组密码、序列密码等对称密码体制时，加解密双方所用的密钥都是秘密的，而且需要定期更换，新的密钥总是要通过某种秘密渠道分配给使用方，在传递的过程中，稍有不慎，就容易泄露。公钥密码加密密钥通常是公开的，而解密密钥是秘密的，由用户自己保存，不需要往返交换和传递，大大减少了密钥泄露的危险性。同时，在网络通信中使用对称密码体制时，网络内任何两个用户都需要使用互不相同的密钥，只有这样，才能保证不被第三方窃听，因而N个用户就要使用N（N–1）/2个密钥。采用公钥密码体制，N个用户只需要产生N对密钥。由此可见，只有公钥密码才能方便、可靠地解决大规模网络应用中密钥的分发和管理问题。

（2）实现网络中的数字签名机制

对称密钥技术由于其自身的局限性，无法提供网络中的数字签名。这是因为数字签名是网络中表征人或机构的真实性的重要手段，数字签名的数据需要有惟一性、私有性，而对称密钥技术中的密钥至少需要在交互双方之间共享，因此，不满足惟一性、私有性，无法用做网络中的数字签名。相比之下，公钥密码技术由于存在一对公钥和私钥，私钥可以表征惟一性和私有性，而且经私钥加密的数据只能用与之对应的公钥来验证，其他人无法仿冒，所以，可以用做网络中的数字签名服务。

二、方案论证

1．介绍RSA公钥密码体制

RS A是Rivest,Shamir,Adleman提出基于数论的非对称密钥体制。RSA是建立在大整数分解的困难上的,是一种分组密码体制。RSA建立方法如下:首先随机选两个大素数p,q , 计算n=p • q；计算欧拉函数 φ(n)=(p-1)(q-1)；任选一个整数e为公开加密密钥，由e求出秘密解密密钥加密/解密：将明文分成长度小于 位的明文块m，加密过程是：c = E(m，e) = mod n解密过程是：m = D(c，d) = mod n

2．RSA公钥密码体制的安全性分析

RSA的安全性依赖于大整数的因式分解问题。实际上，人们推测RSA的安全性依赖于大整数的因式分解问题，但谁也没有在数学上证明从c和e计算m需要对n 进行因式分解。可以想象可能会有完全不同的方式去分析RSA。然而，如果这种方法能让密码解析员推导出d，则它也可以用作大整数因式分解的新方法。最难以令人置信的是，有些RSA变体已经被证明与因式分解同样困难。甚至从RSA加密的密文中恢复出某些特定的位也与解密整个消息同样困难。

3．设计RSA系统的注意事项

（1）经过对RSA安全性的分析，可以得出使用RSA时应该注意的事项：

随机选择足够大素数；在使用RSA的通信网络协议中，不应该使用公共模；不要让攻击者得到原始的解密结果；解密密钥d相对模数n来说不应过小；应该或者加密密钥大；或者被加密的信息m总是大而且m不能是一些已知值的乘积，后面一种情况可以在加密前对m填充随机值实现。相关的消息不能用同样的密钥加密，加密前对消息进行随机值填充破坏消息之间的代数联系及相关性，但是要注意填充算法的选择；应该使获得对任意值的原始签名不可能。被签名的消息应该与模数差不多大，而且不是一些已知值的乘积；

（2）RSA系统的参数选择

RSA系统是第一个将安全性植基于因子分解的系统。很明显地，在公开密钥（e,N）中，若N能被因子分解，则在模N中所有元素价的最小公倍数（即所谓陷门）T=φ(N)=(p-1)(q-1)即无从隐藏。使得解密密钥d不再是秘密，进而整个RSA系统即不安全。虽然迄今人们尚无法“证明”，破解RSA系统等于因子分解。但一般“相信”RSA系统的安全性，等价于因子分解。即：若能分解因子N，即攻破RSA系统；若能攻破RSA系统，即分解因子N（相信，但未证明）。因此，在使用RSA系统时，对于公开密钥N的选择非常重要。必须使得公开N后，任何人无法从N得到T。此外，对于公开密钥e与解密密钥d，亦需有所限制。否则在使用上可能会导致RSA系统被攻破，或应用在密码协议上不安全。4．RSA公钥密码体制的应用

（1）数字签名

长期以来的日常生活中，对于重要的文件，为了防止对文件的否认，伪造，篡改等等的破坏，传统的方法是在文件上手写签名。但是在计算机系统中无法使用手写签名，而代之对应的数字签名机制。数字签名应该能实现手写签名的作用，其本质特征就是仅能利用签名者的私有信息产生签名。因此，当它被验证时，它也能被信任的第三方（如法官）在任一时刻证明只有私有信息的唯一掌握者才能产生此签名。其特点：签名是可信的，签名是不能伪造的，签名是不可重用的，签名后的文件是不能更改的，签名是不能否认的。

三、过程论述

1．RSA算法工作原理

首先，找出三个数，p，q，r，其中p，q是两个相异的质数，r是与(p-1)(q-1)互质的数......p，q，r这三个数便是privatekey 接著，找出m,使得rm==1mod(p-1)(q-1).....这个m一定存在，因为r与(p-1)(q-1)互质，用辗转相除法就可以得到了.....再来，计算n=pq.......m,n这两个数便是public key编码过程是，若资料为a，将其看成是一个大整数，假设a=n的话,就将a表成s进位(s<=n，通常取s=2^t),则每一位数均小于n,然后分段编码......接下来,计算b==a^mmodn,(0<=b若p,q是相异质数,rm==1 mod (p-1)(q-1),a是任意一个正整数，b==a^m mod pq, c==b^r mod pq, 则c==amod pq 证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:

m是任一质数，n是任一整数，则n^m==nmodm<证明>因为rm==1 mod(p-1)(q-1),所以rm=k(p-1)(q-1)+1,其中k是整数因为在modulo中是preserve乘法的(x==ymodz and u==vmodz=>xu==yv modz),所以

c==b^r==(a^m)^r==a^(rm)==a^(k(p-1)(q-1)+1)modpq

（1）如果a不是p的倍数,也不是q的倍数时：

则a^(p-1)==1modp(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modp a^(q-1) ==1 mod q(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modq所以p，q均能整除a^(k(p-1)(q-1即a^(k(p-1)(q-1))==1modpq即a^(k(p-1)(q-1))==1 mod pq=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==a mod pq

（2）如果a是p的倍数,但不是q的倍数时：

则a^(q-1)==1 mod q(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1 modq

=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==a mod q=>q|c-a

因p|a=>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0 modp=>p|c-a

所以,pq|c-a=>c==amod pq

（3）如果a是q的倍数,但不是p的倍数时,证明同上

（4）如果a同时是p和q的倍数时：

则pq|a =>c==a^(k(p-1)(q-1)+1)==0mod pq=>pq|c-a

=>c==a mod pq

这个定理说明a经过编码为b再经过解码为c时，a ==c mod n（n =pq）但我们在做编码解码时,限制0<=a
2．RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。

3．RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上一倍，无论是软件还是硬件实现，速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

参考文献

[1] 陈 运．信息加密原理[M]．成都：电子科技大学出版社，1990．

[2] 张 周．我国企业开始重视网络安全[J]．计算机世界A9版．2000，（3）．

[3] 张文政，孟庆志．通信保密技术[J]．计算机应用．1998，（6）：25~28．

[4] 王 勇．RSA公开密钥密码体制的密钥生成研究